Номер 1156, страница 152 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1156. Тренированный глаз, длительно находящийся в темноте, воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм при мощности $2.1 \cdot 10^{-17}$ Вт. Верхний предел мощности, воспринимаемый безболезненно глазом, $2 \cdot 10^{-5}$ Вт. Сколько фотонов попадает в каждом случае на сетчатку глаза за 1 с?

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 0,5 \text{ мкм}$
Минимальная мощность, $P_1 = 2,1 \cdot 10^{-17} \text{ Вт}$
Максимальная (безболезненная) мощность, $P_2 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}$
Промежуток времени, $t = 1 \text{ с}$
Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Число фотонов в первом случае $N_1$ за 1 с.
Число фотонов во втором случае $N_2$ за 1 с.

Решение:

Мощность светового излучения $P$ определяется как энергия $E$, переносимая светом за единицу времени $t$: $P = \frac{E}{t}$. Общая энергия светового потока складывается из энергий отдельных квантов света — фотонов. Энергия одного фотона $E_{ph}$ вычисляется по формуле Планка: $E_{ph} = h\nu$, где $\nu$ — частота света. Частота связана с длиной волны $\lambda$ соотношением $\nu = \frac{c}{\lambda}$.

Таким образом, энергия одного фотона равна: $E_{ph} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Общая энергия $E$, попавшая на сетчатку за время $t$, равна произведению числа фотонов $N$ на энергию одного фотона: $E = N \cdot E_{ph}$. Подставив это в формулу мощности, получим: $P = \frac{N \cdot E_{ph}}{t}$.

Отсюда можно выразить искомое число фотонов $N$, попадающих на сетчатку за время $t$: $N = \frac{P \cdot t}{E_{ph}} = \frac{P \cdot t \cdot \lambda}{h \cdot c}$

Поскольку нас интересует число фотонов за $t = 1 \text{ с}$, формула принимает вид: $N = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$

Расчет для случая с минимальной мощностью ($P_1$):
Найдем число фотонов $N_1$, попадающих на сетчатку в темноте. $N_1 = \frac{P_1 \cdot \lambda}{h \cdot c} = \frac{2,1 \cdot 10^{-17} \text{ Вт} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1,05 \cdot 10^{-23}}{1,989 \cdot 10^{-25}} \approx 52,8$
С учетом точности исходных данных (две значащие цифры в $P_1$), округляем результат.

Ответ: при минимальной мощности на сетчатку глаза за 1 секунду попадает примерно 53 фотона.

Расчет для случая с максимальной мощностью ($P_2$):
Найдем число фотонов $N_2$, соответствующее верхнему безболезненному пределу мощности. $N_2 = \frac{P_2 \cdot \lambda}{h \cdot c} = \frac{2 \cdot 10^{-5} \text{ Вт} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1 \cdot 10^{-11}}{1,989 \cdot 10^{-25}} \approx 5,027 \cdot 10^{13}$
С учетом точности исходных данных (одна значащая цифра в $P_2$), округляем результат.

Ответ: при максимальной безболезненной мощности на сетчатку глаза за 1 секунду попадает примерно $5 \cdot 10^{13}$ фотонов.