Номер 1154, страница 152 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1154. При какой скорости электроны будут иметь энергию, равную энергии фотонов ультрафиолетового света с длиной волны 200 нм?

Дано:

Длина волны ультрафиолетового света, $\lambda = 200 \text{ нм}$
Кинетическая энергия электрона, $E_k$
Энергия фотона, $E_{ph}$
$E_k = E_{ph}$
Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Переведем данные в систему СИ:

$\lambda = 200 \text{ нм} = 200 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Скорость электрона, $v - ?$

Решение:

По условию задачи, кинетическая энергия электрона должна быть равна энергии фотона. Запишем формулы для обеих энергий.

Энергия фотона определяется его длиной волны:

$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$

Кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по классической формуле (предполагая, что скорость электрона значительно меньше скорости света):

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравняем энергии согласно условию задачи:

$\frac{m_e v^2}{2} = \frac{hc}{\lambda}$

Выразим из этого уравнения скорость электрона $v$:

$v^2 = \frac{2hc}{m_e \lambda}$

$v = \sqrt{\frac{2hc}{m_e \lambda}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{39.756 \cdot 10^{-26}}{18.22 \cdot 10^{-38}}} \text{ м/с}$

$v \approx \sqrt{2.182 \cdot 10^{12}} \text{ м/с}$

$v \approx 1.477 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Полученная скорость $v \approx 1.48 \cdot 10^6 \text{ м/с}$ составляет менее 1% от скорости света ($c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$), поэтому использование нерелятивистской формулы для кинетической энергии является корректным.

Ответ: скорость, при которой электроны будут иметь энергию, равную энергии фотонов ультрафиолетового света с длиной волны 200 нм, составляет примерно $1.48 \cdot 10^6 \text{ м/с}$.