Страница 154 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1167. Длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния увеличилась с 2 до 2,4 пм. Найти энергию электронов отдачи.

Дано

Длина волны рентгеновских лучей до рассеяния: $ \lambda_1 = 2 \text{ пм} $
Длина волны рентгеновских лучей после рассеяния: $ \lambda_2 = 2.4 \text{ пм} $
Постоянная Планка: $ h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $
Скорость света в вакууме: $ c \approx 3 \times 10^{8} \text{ м/с} $

$ \lambda_1 = 2 \times 10^{-12} \text{ м} $
$ \lambda_2 = 2.4 \times 10^{-12} \text{ м} $

Найти:

$ E_k $ — энергию электронов отдачи.

Решение

При комптоновском рассеянии часть энергии падающего фотона передается электрону, на котором происходит рассеяние. Эта переданная энергия является кинетической энергией электрона отдачи ($ E_k $). По закону сохранения энергии, энергия электрона отдачи равна разности энергий фотона до и после рассеяния.

Энергия фотона связана с его длиной волны $ \lambda $ соотношением: $ E = \frac{hc}{\lambda} $ где $ h $ — постоянная Планка, а $ c $ — скорость света.

Энергия фотона до рассеяния: $ E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} $

Энергия фотона после рассеяния: $ E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} $

Следовательно, кинетическая энергия электрона отдачи $ E_k $ равна: $ E_k = E_1 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right) $

Подставим числовые значения в формулу: $ E_k = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \times 3 \times 10^{8} \text{ м/с} \times \left(\frac{1}{2 \times 10^{-12} \text{ м}} - \frac{1}{2.4 \times 10^{-12} \text{ м}}\right) $

Вычислим произведение $ hc $: $ hc \approx 1.988 \times 10^{-25} \text{ Дж} \cdot \text{м} $

Вычислим разность в скобках: $ \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{10^{-12}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2.4}\right) \text{ м}^{-1} = 10^{12} \left(0.5 - \frac{10}{24}\right) \text{ м}^{-1} = 10^{12} \left(\frac{12 - 10}{24}\right) \text{ м}^{-1} = 10^{12} \frac{2}{24} \text{ м}^{-1} = \frac{1}{12} \times 10^{12} \text{ м}^{-1} $

Теперь найдем энергию $ E_k $: $ E_k = (1.988 \times 10^{-25} \text{ Дж} \cdot \text{м}) \times \left(\frac{1}{12} \times 10^{12} \text{ м}^{-1}\right) $ $ E_k = \frac{1.988}{12} \times 10^{-25+12} \text{ Дж} \approx 0.1657 \times 10^{-13} \text{ Дж} $ $ E_k \approx 1.66 \times 10^{-14} \text{ Дж} $

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных: $ E_k \approx 1.7 \times 10^{-14} \text{ Дж} $

Ответ: $1.7 \times 10^{-14} \text{ Дж}$.

1168. Угол рассеяния рентгеновских лучей с длиной волны $5 \text{ пм}$ равен $30^\circ$, а электроны отдачи движутся под углом $60^\circ$ к направлению падающих лучей. Найти:

а) импульс электронов отдачи;

б) импульс фотонов рассеянных лучей.

Дано

Перевод в систему СИ:

Найти:

а) $p_e$ — импульс электронов отдачи

б) $p'$ — импульс фотонов рассеянных лучей

Решение

Рассматриваемое явление — эффект Комптона, то есть упругое рассеяние фотона на покоящемся свободном электроне. Для нахождения искомых импульсов воспользуемся законом сохранения импульса. Вектор импульса падающего фотона $\vec{p}$ равен векторной сумме импульса рассеянного фотона $\vec{p'}$ и импульса электрона отдачи $\vec{p_e}$:

$\vec{p} = \vec{p'} + \vec{p_e}$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль направления движения падающего фотона, а ось OY — перпендикулярно ей. Угол $\theta$ — угол между $\vec{p}$ и $\vec{p'}$, угол $\phi$ — угол между $\vec{p}$ и $\vec{p_e}$.

Проекция на ось OX:

$p = p' \cos\theta + p_e \cos\phi$

Проекция на ось OY (предполагая, что фотон и электрон рассеиваются в разные стороны от оси OX):

$0 = p' \sin\theta - p_e \sin\phi$

Данная система уравнений может быть решена с помощью теоремы синусов для треугольника импульсов, образованного векторами $\vec{p}$, $\vec{p'}$ и $\vec{p_e}$:

$\frac{p}{\sin(180^\circ - (\theta + \phi))} = \frac{p'}{\sin\phi} = \frac{p_e}{\sin\theta}$

Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, соотношение принимает вид:

$\frac{p}{\sin(\theta + \phi)} = \frac{p'}{\sin\phi} = \frac{p_e}{\sin\theta}$

Прежде всего, вычислим импульс падающего фотона $p$ по его длине волны $\lambda$:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{5 \times 10^{-12} \text{ м}} \approx 1.3252 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

а) импульс электронов отдачи

Из соотношения, полученного из теоремы синусов, выражаем импульс электрона $p_e$:

$p_e = p \frac{\sin\theta}{\sin(\theta+\phi)}$

Подставим числовые значения из условия: $\theta = 30^\circ$, $\phi = 60^\circ$.

$p_e = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin(30^\circ+60^\circ)} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{0.5}{\sin 90^\circ} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{0.5}{1}$

$p_e = 0.6626 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

Ответ: $p_e \approx 6.63 \times 10^{-23} \text{ кг·м/с}$.

б) импульс фотонов рассеянных лучей

Аналогично выражаем импульс рассеянного фотона $p'$:

$p' = p \frac{\sin\phi}{\sin(\theta+\phi)}$

Подставляем значения:

$p' = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin(30^\circ+60^\circ)} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 90^\circ} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1}$

$p' \approx 1.3252 \times 10^{-22} \cdot 0.8660 \approx 1.1476 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

Ответ: $p' \approx 1.15 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$.

1169. Рентгеновские лучи с длиной волны 20 пм рассеиваются под углом 90°. Найти импульс электронов отдачи.

Дано:

Длина волны рентгеновских лучей $\lambda = 20 \text{ пм} = 20 \times 10^{-12} \text{ м}$.
Угол рассеяния фотонов $\theta = 90^\circ$.
Постоянная Планка $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$.
Масса покоя электрона $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$.
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$.

Найти:

Импульс электрона отдачи $p_e$.

Решение:

Рассеяние рентгеновских лучей на электронах описывается эффектом Комптона. В этом процессе выполняются законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения импульса для системы, состоящей из фотона и электрона (который до столкновения покоился), имеет вид:

$\vec{p} = \vec{p}' + \vec{p}_e$

Здесь $\vec{p}$ — импульс падающего фотона, $\vec{p}'$ — импульс рассеянного фотона, а $\vec{p}_e$ — импульс электрона отдачи. Из этого векторного уравнения можно выразить импульс электрона: $\vec{p}_e = \vec{p} - \vec{p}'$.

Модуль импульса электрона отдачи можно найти, применив к треугольнику импульсов теорему косинусов:

$p_e^2 = p^2 + (p')^2 - 2 p p' \cos\theta$

где $\theta$ — угол рассеяния фотона. По условию, $\theta = 90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$. Это означает, что векторы импульсов падающего и рассеянного фотонов перпендикулярны, и формула упрощается до теоремы Пифагора:

$p_e^2 = p^2 + (p')^2 \implies p_e = \sqrt{p^2 + (p')^2}$

Импульс фотона связан с его длиной волны $\lambda$ формулой де Бройля: $p = \frac{h}{\lambda}$.
Следовательно, $p = \frac{h}{\lambda}$ и $p' = \frac{h}{\lambda'}$, где $\lambda'$ — длина волны рассеянного фотона.

Длину волны рассеянного фотона $\lambda'$ найдем из формулы комптоновского смещения:

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos\theta)$

где $\lambda_c = \frac{h}{m_e c}$ — комптоновская длина волны электрона. Вычислим ее:

$\lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})} \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Теперь найдем $\lambda'$ для угла рассеяния $\theta = 90^\circ$:

$\lambda' = \lambda + \lambda_c (1 - \cos 90^\circ) = \lambda + \lambda_c(1 - 0) = \lambda + \lambda_c$

$\lambda' = 20 \times 10^{-12} \text{ м} + 2.426 \times 10^{-12} \text{ м} = 22.426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Теперь можно рассчитать импульсы фотонов до и после рассеяния:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{20 \times 10^{-12}} = 3.313 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p' = \frac{h}{\lambda'} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{22.426 \times 10^{-12}} \approx 2.955 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Наконец, вычисляем импульс электрона отдачи:

$p_e = \sqrt{p^2 + (p')^2} = \sqrt{(3.313 \times 10^{-23})^2 + (2.955 \times 10^{-23})^2}$

$p_e = \sqrt{(10.976 \times 10^{-46}) + (8.732 \times 10^{-46})} = \sqrt{19.708 \times 10^{-46}} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_e \approx 4.439 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $p_e \approx 4.44 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ:

Импульс электронов отдачи равен $4.44 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

1170. Сравнить давления света, производимые на идеально белую и идеально чёрную поверхности при прочих равных условиях.

Дано:

Идеально белая поверхность (коэффициент отражения $ \rho_б = 1 $)

Идеально чёрная поверхность (коэффициент отражения $ \rho_ч = 0 $)

Интенсивность света $I$ и прочие условия (например, угол падения) для обеих поверхностей одинаковы.

Найти:

Отношение давления на белую поверхность к давлению на чёрную поверхность $ \frac{P_б}{P_ч} $.

Решение:

Давление света ($ P $) возникает из-за передачи импульса фотонами поверхности, с которой они взаимодействуют. Для света, падающего перпендикулярно на поверхность, давление можно рассчитать по общей формуле: $ P = \frac{I}{c}(1 + \rho) $ где $ I $ — интенсивность света, $ c $ — скорость света в вакууме, а $ \rho $ — коэффициент отражения поверхности.

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя данную формулу.

Давление на идеально чёрную поверхность

Идеально чёрная поверхность полностью поглощает всё падающее излучение. Это означает, что её коэффициент отражения $ \rho_ч = 0 $. Подставим это значение в формулу для давления: $ P_ч = \frac{I}{c}(1 + \rho_ч) = \frac{I}{c}(1 + 0) = \frac{I}{c} $

Физически это означает, что каждый фотон при падении передает поверхности весь свой импульс, и на этом взаимодействие заканчивается.

Давление на идеально белую поверхность

Идеально белая (или идеально зеркальная) поверхность полностью отражает всё падающее излучение. Её коэффициент отражения $ \rho_б = 1 $. Давление на эту поверхность будет равно: $ P_б = \frac{I}{c}(1 + \rho_б) = \frac{I}{c}(1 + 1) = \frac{2I}{c} $

В этом случае фотоны не только передают свой первоначальный импульс (как бы останавливаясь у поверхности), но и получают такой же по модулю импульс в обратном направлении. По закону сохранения импульса, это означает, что поверхность получает суммарный импульс, вдвое больший, чем при поглощении.

Сравнение давлений

Теперь, когда у нас есть выражения для давлений на обе поверхности, мы можем найти их отношение: $ \frac{P_б}{P_ч} = \frac{2I/c}{I/c} = 2 $

Таким образом, давление света на идеально белую поверхность в два раза больше, чем на идеально чёрную.

Ответ: Давление света, производимое на идеально белую поверхность, в два раза больше давления, производимого на идеально чёрную поверхность при прочих равных условиях.

1171. В научной фантастике описываются космические яхты с солнечными парусами, движущиеся под действием давления солнечных лучей. Через какое время скорость яхты массой 1 т изменится на 50 м/с, если площадь паруса 1000 м², а среднее давление солнечных лучей 10 мкПа? Какое добавочное ускорение приобретёт яхта под действием солнечных лучей?

Дано:

Масса яхты, $m = 1 \text{ т}$
Изменение скорости, $\Delta v = 50 \text{ м/с}$
Площадь паруса, $S = 1000 \text{ м}^2$
Среднее давление солнечных лучей, $P_{ср} = 10 \text{ мкПа}$

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 10^3 \text{ кг}$
$S = 1000 \text{ м}^2 = 10^3 \text{ м}^2$
$P_{ср} = 10 \text{ мкПа} = 10 \times 10^{-6} \text{ Па} = 10^{-5} \text{ Па}$

Найти:

$t$ - ?
$a$ - ?

Решение:

Задача состоит из двух связанных вопросов. Для нахождения времени, необходимого для изменения скорости, сначала нужно рассчитать ускорение, которое яхта приобретает под действием давления солнечных лучей.

Какое добавочное ускорение приобретёт яхта под действием солнечных лучей?

Сила давления $F$, действующая на солнечный парус, определяется по формуле: $F = P_{ср} \cdot S$, где $P_{ср}$ – среднее давление, а $S$ – площадь паруса.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает яхте массой $m$ ускорение $a$: $F = m \cdot a$

Приравнивая два выражения для силы, получаем: $m \cdot a = P_{ср} \cdot S$

Отсюда можем выразить искомое ускорение $a$: $a = \frac{P_{ср} \cdot S}{m}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $a = \frac{10^{-5} \text{ Па} \cdot 10^3 \text{ м}^2}{10^3 \text{ кг}} = 10^{-5} \frac{\text{Н/м}^2 \cdot \text{м}^2}{\text{кг}} = 10^{-5} \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 10^{-5} \text{ м/с}^2$

Ответ: Добавочное ускорение, которое приобретёт яхта, составляет $1 \cdot 10^{-5} \text{ м/с}^2$.

Через какое время скорость яхты... изменится на 50 м/с...

Движение яхты под действием постоянной силы давления является равноускоренным. Ускорение $a$ связано с изменением скорости $\Delta v$ и временем $t$ следующим соотношением: $a = \frac{\Delta v}{t}$

Выразим из этой формулы время $t$: $t = \frac{\Delta v}{a}$

Подставим известные значения, включая найденное ранее ускорение: $t = \frac{50 \text{ м/с}}{10^{-5} \text{ м/с}^2} = 50 \cdot 10^5 \text{ с} = 5 \cdot 10^6 \text{ с}$

Для лучшего понимания масштаба времени переведем секунды в сутки. В одних сутках $24 \cdot 60 \cdot 60 = 86400$ секунд. $t = \frac{5 \cdot 10^6 \text{ с}}{86400 \text{ с/сутки}} \approx 57.87 \text{ суток}$

Ответ: Скорость яхты изменится на 50 м/с через $5 \cdot 10^6$ секунд, что составляет примерно 58 суток.