Номер 1168, страница 154 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

50. Фотоэлектрический эффект. Фотон. Давление света. Глава XVI. Световые кванты. Действия света. Квантовая физика - номер 1168, страница 154.

Условие.

1168. Угол рассеяния рентгеновских лучей с длиной волны $5 \text{ пм}$ равен $30^\circ$, а электроны отдачи движутся под углом $60^\circ$ к направлению падающих лучей. Найти:

а) импульс электронов отдачи;

б) импульс фотонов рассеянных лучей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано

Длина волны падающих рентгеновских лучей $\lambda = 5 \text{ пм}$

Угол рассеяния рентгеновских лучей $\theta = 30^\circ$

Угол отдачи электронов $\phi = 60^\circ$

Постоянная Планка $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 5 \times 10^{-12} \text{ м}$

Найти:

а) $p_e$ — импульс электронов отдачи

б) $p'$ — импульс фотонов рассеянных лучей

Решение

Рассматриваемое явление — эффект Комптона, то есть упругое рассеяние фотона на покоящемся свободном электроне. Для нахождения искомых импульсов воспользуемся законом сохранения импульса. Вектор импульса падающего фотона $\vec{p}$ равен векторной сумме импульса рассеянного фотона $\vec{p'}$ и импульса электрона отдачи $\vec{p_e}$:

$\vec{p} = \vec{p'} + \vec{p_e}$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль направления движения падающего фотона, а ось OY — перпендикулярно ей. Угол $\theta$ — угол между $\vec{p}$ и $\vec{p'}$, угол $\phi$ — угол между $\vec{p}$ и $\vec{p_e}$.

Проекция на ось OX:

$p = p' \cos\theta + p_e \cos\phi$

Проекция на ось OY (предполагая, что фотон и электрон рассеиваются в разные стороны от оси OX):

$0 = p' \sin\theta - p_e \sin\phi$

Данная система уравнений может быть решена с помощью теоремы синусов для треугольника импульсов, образованного векторами $\vec{p}$, $\vec{p'}$ и $\vec{p_e}$:

$\frac{p}{\sin(180^\circ - (\theta + \phi))} = \frac{p'}{\sin\phi} = \frac{p_e}{\sin\theta}$

Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, соотношение принимает вид:

$\frac{p}{\sin(\theta + \phi)} = \frac{p'}{\sin\phi} = \frac{p_e}{\sin\theta}$

Прежде всего, вычислим импульс падающего фотона $p$ по его длине волны $\lambda$:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{5 \times 10^{-12} \text{ м}} \approx 1.3252 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

а) импульс электронов отдачи

Из соотношения, полученного из теоремы синусов, выражаем импульс электрона $p_e$:

$p_e = p \frac{\sin\theta}{\sin(\theta+\phi)}$

Подставим числовые значения из условия: $\theta = 30^\circ$, $\phi = 60^\circ$.

$p_e = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin(30^\circ+60^\circ)} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{0.5}{\sin 90^\circ} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{0.5}{1}$

$p_e = 0.6626 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

Ответ: $p_e \approx 6.63 \times 10^{-23} \text{ кг·м/с}$.

б) импульс фотонов рассеянных лучей

Аналогично выражаем импульс рассеянного фотона $p'$:

$p' = p \frac{\sin\phi}{\sin(\theta+\phi)}$

Подставляем значения:

$p' = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin(30^\circ+60^\circ)} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 90^\circ} = (1.3252 \times 10^{-22}) \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1}$

$p' \approx 1.3252 \times 10^{-22} \cdot 0.8660 \approx 1.1476 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$

Ответ: $p' \approx 1.15 \times 10^{-22} \text{ кг·м/с}$.