Номер 1169, страница 154 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

50. Фотоэлектрический эффект. Фотон. Давление света. Глава XVI. Световые кванты. Действия света. Квантовая физика - номер 1169, страница 154.

Условие.

1169. Рентгеновские лучи с длиной волны 20 пм рассеиваются под углом 90°. Найти импульс электронов отдачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Длина волны рентгеновских лучей $\lambda = 20 \text{ пм} = 20 \times 10^{-12} \text{ м}$.
Угол рассеяния фотонов $\theta = 90^\circ$.
Постоянная Планка $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$.
Масса покоя электрона $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$.
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$.

Найти:

Импульс электрона отдачи $p_e$.

Решение:

Рассеяние рентгеновских лучей на электронах описывается эффектом Комптона. В этом процессе выполняются законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения импульса для системы, состоящей из фотона и электрона (который до столкновения покоился), имеет вид:

$\vec{p} = \vec{p}' + \vec{p}_e$

Здесь $\vec{p}$ — импульс падающего фотона, $\vec{p}'$ — импульс рассеянного фотона, а $\vec{p}_e$ — импульс электрона отдачи. Из этого векторного уравнения можно выразить импульс электрона: $\vec{p}_e = \vec{p} - \vec{p}'$.

Модуль импульса электрона отдачи можно найти, применив к треугольнику импульсов теорему косинусов:

$p_e^2 = p^2 + (p')^2 - 2 p p' \cos\theta$

где $\theta$ — угол рассеяния фотона. По условию, $\theta = 90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$. Это означает, что векторы импульсов падающего и рассеянного фотонов перпендикулярны, и формула упрощается до теоремы Пифагора:

$p_e^2 = p^2 + (p')^2 \implies p_e = \sqrt{p^2 + (p')^2}$

Импульс фотона связан с его длиной волны $\lambda$ формулой де Бройля: $p = \frac{h}{\lambda}$.
Следовательно, $p = \frac{h}{\lambda}$ и $p' = \frac{h}{\lambda'}$, где $\lambda'$ — длина волны рассеянного фотона.

Длину волны рассеянного фотона $\lambda'$ найдем из формулы комптоновского смещения:

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos\theta)$

где $\lambda_c = \frac{h}{m_e c}$ — комптоновская длина волны электрона. Вычислим ее:

$\lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})} \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Теперь найдем $\lambda'$ для угла рассеяния $\theta = 90^\circ$:

$\lambda' = \lambda + \lambda_c (1 - \cos 90^\circ) = \lambda + \lambda_c(1 - 0) = \lambda + \lambda_c$

$\lambda' = 20 \times 10^{-12} \text{ м} + 2.426 \times 10^{-12} \text{ м} = 22.426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Теперь можно рассчитать импульсы фотонов до и после рассеяния:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{20 \times 10^{-12}} = 3.313 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p' = \frac{h}{\lambda'} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{22.426 \times 10^{-12}} \approx 2.955 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Наконец, вычисляем импульс электрона отдачи:

$p_e = \sqrt{p^2 + (p')^2} = \sqrt{(3.313 \times 10^{-23})^2 + (2.955 \times 10^{-23})^2}$

$p_e = \sqrt{(10.976 \times 10^{-46}) + (8.732 \times 10^{-46})} = \sqrt{19.708 \times 10^{-46}} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_e \approx 4.439 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $p_e \approx 4.44 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ:

Импульс электронов отдачи равен $4.44 \times 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.