Страница 160 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1217. Радиоактивный марганец $_{25}^{54}Mn$ получают двумя путями. Первый путь состоит в облучении изотопа железа $_{26}^{56}Fe$ дейтронами, второй — в облучении изотопа железа $_{26}^{54}Fe$ нейтронами. Написать ядерные реакции.

Дано:

Способ 1: Облучение изотопа железа $_{26}^{56}\text{Fe}$ дейтронами ($_{1}^{2}\text{d}$) с получением марганца $_{25}^{54}\text{Mn}$.

Способ 2: Облучение изотопа железа $_{26}^{54}\text{Fe}$ нейтронами ($_{0}^{1}\text{n}$) с получением марганца $_{25}^{54}\text{Mn}$.

Найти:

Написать уравнения ядерных реакций для обоих способов.

Решение:

Для записи уравнений ядерных реакций необходимо применить законы сохранения массового числа (суммы верхних индексов) и зарядового числа (суммы нижних индексов). Сумма этих чисел до реакции должна быть равна их сумме после реакции.

Первый путь

Запишем схему реакции облучения изотопа железа $_{26}^{56}\text{Fe}$ дейтронами ($_{1}^{2}\text{d}$). В результате реакции образуется радиоактивный марганец $_{25}^{54}\text{Mn}$ и неизвестная частица $_{Z}^{A}\text{X}$.

$$ _{26}^{56}\text{Fe} + _{1}^{2}\text{d} \rightarrow _{25}^{54}\text{Mn} + _{Z}^{A}\text{X} $$

Применим закон сохранения массового числа:

$$ 56 + 2 = 54 + A $$

$$ 58 = 54 + A \implies A = 4 $$

Применим закон сохранения зарядового числа:

$$ 26 + 1 = 25 + Z $$

$$ 27 = 25 + Z \implies Z = 2 $$

Частица с массовым числом $A=4$ и зарядовым числом $Z=2$ является альфа-частицей, то есть ядром атома гелия ($_{2}^{4}\text{He}$).

Ответ: $ _{26}^{56}\text{Fe} + _{1}^{2}\text{d} \rightarrow _{25}^{54}\text{Mn} + _{2}^{4}\text{He} $

Второй путь

Запишем схему реакции облучения изотопа железа $_{26}^{54}\text{Fe}$ нейтронами ($_{0}^{1}\text{n}$). В результате реакции также образуется марганец $_{25}^{54}\text{Mn}$ и неизвестная частица $_{Z}^{A}\text{Y}$.

$$ _{26}^{54}\text{Fe} + _{0}^{1}\text{n} \rightarrow _{25}^{54}\text{Mn} + _{Z}^{A}\text{Y} $$

Применим закон сохранения массового числа:

$$ 54 + 1 = 54 + A $$

$$ 55 = 54 + A \implies A = 1 $$

Применим закон сохранения зарядового числа:

$$ 26 + 0 = 25 + Z $$

$$ 26 = 25 + Z \implies Z = 1 $$

Частица с массовым числом $A=1$ и зарядовым числом $Z=1$ является протоном, то есть ядром атома водорода ($_{1}^{1}\text{p}$).

Ответ: $ _{26}^{54}\text{Fe} + _{0}^{1}\text{n} \rightarrow _{25}^{54}\text{Mn} + _{1}^{1}\text{p} $

1218. При бомбардировке азота $ {}_{7}^{14}\text{N} $ нейтронами из образовавшегося ядра выбрасывается протон. Написать реакцию. Полученное ядро изотопа углерода оказывается $\beta$-радиоактивным. Написать происходящую при этом реакцию.

Дано:

Первая ядерная реакция: ядро азота-14 ($^{14}_{7}\text{N}$) бомбардируется нейтронами ($^{1}_{0}\text{n}$). В результате реакции выбрасывается протон ($^{1}_{1}\text{p}$).

Вторая ядерная реакция: полученное в первой реакции ядро изотопа углерода является β-радиоактивным.

Найти:

1. Уравнение реакции бомбардировки азота нейтронами.

2. Уравнение реакции β-распада полученного изотопа углерода.

Решение:

1. Реакция бомбардировки азота нейтронами

Запишем уравнение ядерной реакции в общем виде. Пусть неизвестный продукт реакции — это ядро $^{A}_{Z}\text{X}$.

$^{14}_{7}\text{N} + {^1_0\text{n}} \rightarrow {^{A}_{Z}\text{X}} + {^1_1\text{p}}$

Для нахождения неизвестного ядра $^{A}_{Z}\text{X}$ воспользуемся законами сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z).

Сумма массовых чисел до реакции должна быть равна сумме массовых чисел после реакции:

$14 + 1 = A + 1$

$15 = A + 1$

$A = 14$

Сумма зарядовых чисел до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции:

$7 + 0 = Z + 1$

$7 = Z + 1$

$Z = 6$

Элемент с зарядовым числом $Z=6$ в периодической таблице Менделеева — это углерод (C). Следовательно, в результате реакции образуется изотоп углерода $^{14}_{6}\text{C}$.

Полное уравнение реакции имеет вид:

Ответ: $^{14}_{7}\text{N} + {^1_0\text{n}} \rightarrow {^{14}_{6}\text{C}} + {^1_1\text{p}}$

2. Реакция β-распада полученного ядра углерода

Согласно условию, полученное ядро $^{14}_{6}\text{C}$ является β-радиоактивным. β-распад (точнее, β⁻-распад) — это самопроизвольное превращение одного из нейтронов ядра в протон, сопровождающееся испусканием электрона ($^{0}_{-1}\text{e}$) и электронного антинейтрино ($\bar{\nu}_e$).

Запишем уравнение β-распада ядра $^{14}_{6}\text{C}$. Пусть новый элемент — это $^{A'}_{Z'}\text{Y}$.

$^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {^{A'}_{Z'}\text{Y}} + {^{0}_{-1}\text{e}} + \bar{\nu}_e$

Применим законы сохранения массового и зарядового чисел.

Закон сохранения массового числа:

$14 = A' + 0$

$A' = 14$

Закон сохранения зарядового числа:

$6 = Z' + (-1)$

$Z' = 6 + 1 = 7$

Элемент с зарядовым числом $Z'=7$ — это азот (N). Таким образом, продуктом распада является ядро изотопа азота $^{14}_{7}\text{N}$.

Полное уравнение реакции β-распада (в упрощенной форме, без учета антинейтрино, как это часто делается в школьном курсе физики) выглядит следующим образом:

Ответ: $^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {^{14}_{7}\text{N}} + {^{0}_{-1}\text{e}}$

1219. При бомбардировке железа $^{56}_{26}\text{Fe}$ нейтронами образуется $\beta$-радиоактивный изотоп марганца с атомной массой 56. Написать реакцию получения искусственно радиоактивного марганца и реакцию происходящего с ним $\beta$-распада.

Дано:

Исходное ядро: железо-56 ($_{26}^{56}\text{Fe}$)

Бомбардирующая частица: нейтрон ($_{0}^{1}n$)

Продукт реакции: β-радиоактивный изотоп марганца с атомной массой 56 ($^{56}\text{Mn}$)

Найти:

1. Реакцию получения искусственно радиоактивного марганца.

2. Реакцию происходящего с ним β-распада.

Решение:

Реакция получения искусственно радиоактивного марганца

При бомбардировке ядра железа $_{26}^{56}\text{Fe}$ нейтронами $_{0}^{1}n$ образуется изотоп марганца $_{Z}^{56}\text{Mn}$. Порядковый номер марганца (Mn) в периодической системе химических элементов равен 25, следовательно, его зарядовое число $Z=25$. Запишем уравнение ядерной реакции, обозначив неизвестную испускаемую частицу как $_{Z'}^{A'}X$:

$$_{26}^{56}\text{Fe} + _{0}^{1}n \rightarrow _{25}^{56}\text{Mn} + _{Z'}^{A'}X$$

Для определения неизвестной частицы $X$ необходимо применить законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z).

Закон сохранения массового числа (сумма верхних индексов слева и справа от стрелки должна быть одинаковой):

$56 + 1 = 56 + A'$

$57 = 56 + A' \Rightarrow A' = 1$

Закон сохранения зарядового числа (сумма нижних индексов слева и справа должна быть одинаковой):

$26 + 0 = 25 + Z'$

$26 = 25 + Z' \Rightarrow Z' = 1$

Частица, имеющая массовое число $A'=1$ и зарядовое число $Z'=1$, является протоном ($p$ или $_{1}^{1}p$). Таким образом, в ходе реакции также испускается протон.

Ответ: Уравнение реакции получения радиоактивного марганца: $_{26}^{56}\text{Fe} + _{0}^{1}n \rightarrow _{25}^{56}\text{Mn} + _{1}^{1}p$.

Реакция происходящего с ним β-распада

Согласно условию, полученный изотоп марганца $_{25}^{56}\text{Mn}$ является β-радиоактивным. Это означает, что он испытывает β⁻-распад. При β⁻-распаде один из нейтронов в ядре превращается в протон, при этом из ядра испускается электрон ($_{-1}^{0}e$, или β⁻-частица) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$). В результате β⁻-распада массовое число ядра не изменяется, а его зарядовое число увеличивается на единицу.

Запишем уравнение β-распада для изотопа $_{25}^{56}\text{Mn}$:

$$_{25}^{56}\text{Mn} \rightarrow _{Z'}^{A'}\text{Y} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$$

Массовое число дочернего ядра $A'$ остается равным 56.

Зарядовое число дочернего ядра $Z'$ увеличивается на 1: $Z' = 25 + 1 = 26$.

Химический элемент с зарядовым числом $Z'=26$ — это железо (Fe). Следовательно, в результате β-распада изотопа марганца-56 образуется стабильный изотоп железа-56.

Ответ: Уравнение реакции β-распада марганца-56: $_{25}^{56}\text{Mn} \rightarrow _{26}^{56}\text{Fe} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$.

1220. Выделяется или поглощается энергия при следующих ядерных реакциях:

$ {}_{7}^{14}\text{N} + {}_{2}^{4}\text{He} \rightarrow {}_{8}^{17}\text{O} + {}_{1}^{1}\text{H}, $

$ {}_{3}^{6}\text{Li} + {}_{1}^{1}\text{H} \rightarrow {}_{2}^{4}\text{He} + {}_{2}^{3}\text{He}, $

$ {}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{2}^{4}\text{He} \rightarrow {}_{5}^{10}\text{B} + {}_{0}^{1}\text{n}? $

Чтобы определить, выделяется или поглощается энергия в ядерной реакции, необходимо рассчитать энергетический выход реакции $Q$. Он равен разности масс покоя начальных и конечных продуктов реакции, умноженной на квадрат скорости света:

$Q = \Delta m \cdot c^2 = (m_{нач} - m_{кон}) \cdot c^2$

Если $Q > 0$ (масса продуктов уменьшилась), то энергия выделяется (экзотермическая реакция).
Если $Q < 0$ (масса продуктов увеличилась), то энергия поглощается (эндотермическая реакция).

Для расчетов будем использовать массы атомов в атомных единицах массы (а.е.м.) и энергетический эквивалент 1 а.е.м., который равен $931,5 \text{ МэВ}$.

${}_{7}^{14}\text{N} + {}_{2}^{4}\text{He} \rightarrow {}_{8}^{17}\text{O} + {}_{1}^{1}\text{H}$

Дано:
Масса атома азота ${}_{7}^{14}\text{N}$: $m_N = 14,003074 \text{ а.е.м.}$
Масса альфа-частицы (ядра гелия ${}_{2}^{4}\text{He}$): $m_{He} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$
Масса атома кислорода ${}_{8}^{17}\text{O}$: $m_O = 16,999132 \text{ а.е.м.}$
Масса протона (ядра водорода ${}_{1}^{1}\text{H}$): $m_H = 1,007825 \text{ а.е.м.}$
$1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_N \approx 2,32525 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_{He} \approx 0,66465 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_O \approx 2,82273 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_H \approx 0,16735 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Найти:
Энергетический выход реакции $Q$.

Решение:
1. Найдем суммарную массу частиц до реакции (начальная масса):
$m_{нач} = m_N + m_{He} = 14,003074 \text{ а.е.м.} + 4,002603 \text{ а.е.м.} = 18,005677 \text{ а.е.м.}$

2. Найдем суммарную массу частиц после реакции (конечная масса):
$m_{кон} = m_O + m_H = 16,999132 \text{ а.е.м.} + 1,007825 \text{ а.е.м.} = 18,006957 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим дефект масс:
$\Delta m = m_{нач} - m_{кон} = 18,005677 - 18,006957 = -0,00128 \text{ а.е.м.}$

4. Так как дефект масс отрицательный ($\Delta m < 0$), конечная масса больше начальной. Это означает, что для протекания реакции необходимо затратить энергию. Рассчитаем эту энергию:
$Q = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} = -0,00128 \cdot 931,5 \approx -1,19 \text{ МэВ}$

Энергетический выход отрицателен, следовательно, энергия поглощается.

Ответ: В данной реакции энергия поглощается, $Q \approx -1,19 \text{ МэВ}$.

${}_{3}^{6}\text{Li} + {}_{1}^{1}\text{H} \rightarrow {}_{2}^{4}\text{He} + {}_{2}^{3}\text{He}$

Дано:
Масса атома лития ${}_{3}^{6}\text{Li}$: $m_{Li} = 6,015123 \text{ а.е.м.}$
Масса протона ${}_{1}^{1}\text{H}$: $m_H = 1,007825 \text{ а.е.м.}$
Масса альфа-частицы ${}_{2}^{4}\text{He}$: $m_{He4} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$
Масса атома гелия ${}_{2}^{3}\text{He}$: $m_{He3} = 3,016029 \text{ а.е.м.}$
$1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{Li} \approx 0,99884 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_H \approx 0,16735 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_{He4} \approx 0,66465 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_{He3} \approx 0,50082 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Найти:
Энергетический выход реакции $Q$.

Решение:
1. Найдем суммарную массу частиц до реакции:
$m_{нач} = m_{Li} + m_H = 6,015123 \text{ а.е.м.} + 1,007825 \text{ а.е.м.} = 7,022948 \text{ а.е.м.}$

2. Найдем суммарную массу частиц после реакции:
$m_{кон} = m_{He4} + m_{He3} = 4,002603 \text{ а.е.м.} + 3,016029 \text{ а.е.м.} = 7,018632 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим дефект масс:
$\Delta m = m_{нач} - m_{кон} = 7,022948 - 7,018632 = 0,004316 \text{ а.е.м.}$

4. Так как дефект масс положительный ($\Delta m > 0$), конечная масса меньше начальной. Это означает, что в результате реакции выделяется энергия:
$Q = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} = 0,004316 \cdot 931,5 \approx 4,02 \text{ МэВ}$

Энергетический выход положителен, следовательно, энергия выделяется.

Ответ: В данной реакции энергия выделяется, $Q \approx 4,02 \text{ МэВ}$.

${}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{2}^{4}\text{He} \rightarrow {}_{5}^{10}\text{B} + {}_{0}^{1}\text{n}$

Дано:
Масса атома лития ${}_{3}^{7}\text{Li}$: $m_{Li} = 7,016004 \text{ а.е.м.}$
Масса альфа-частицы ${}_{2}^{4}\text{He}$: $m_{He} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$
Масса атома бора ${}_{5}^{10}\text{B}$: $m_B = 10,012937 \text{ а.е.м.}$
Масса нейтрона ${}_{0}^{1}\text{n}$: $m_n = 1,008665 \text{ а.е.м.}$
$1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{Li} \approx 1,16504 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_{He} \approx 0,66465 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_B \approx 1,66275 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$
$m_n \approx 0,16749 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Найти:
Энергетический выход реакции $Q$.

Решение:
1. Найдем суммарную массу частиц до реакции:
$m_{нач} = m_{Li} + m_{He} = 7,016004 \text{ а.е.м.} + 4,002603 \text{ а.е.м.} = 11,018607 \text{ а.е.м.}$

2. Найдем суммарную массу частиц после реакции:
$m_{кон} = m_B + m_n = 10,012937 \text{ а.е.м.} + 1,008665 \text{ а.е.м.} = 11,021602 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим дефект масс:
$\Delta m = m_{нач} - m_{кон} = 11,018607 - 11,021602 = -0,002995 \text{ а.е.м.}$

4. Так как дефект масс отрицательный ($\Delta m < 0$), конечная масса больше начальной, следовательно, энергия поглощается:
$Q = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} = -0,002995 \cdot 931,5 \approx -2,79 \text{ МэВ}$

Энергетический выход отрицателен, следовательно, энергия поглощается.

Ответ: В данной реакции энергия поглощается, $Q \approx -2,79 \text{ МэВ}$.

1221. Какая энергия выделяется при ядерной реакции

$^7_3\text{Li} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^8_4\text{Be} + ^1_0n?$

Дано:

Ядерная реакция: ${}_3^7\text{Li} + {}_1^2\text{H} \rightarrow {}_4^8\text{Be} + {}_0^1\text{n}$

Точные массы ядер и нейтрона в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m({}_3^7\text{Li}) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$m({}_1^2\text{H}) = 2.014102 \text{ а.е.м.}$

$m({}_4^8\text{Be}) = 8.005305 \text{ а.е.м.}$

$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Константы:

$1 \text{ а.е.м.} = 1.660539 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_{а.е.м.} \approx 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Энергетический выход ядерной реакции $E$.

Решение:

Энергия, которая выделяется или поглощается в ходе ядерной реакции, определяется изменением массы покоя участвующих в реакции частиц. Это изменение называется дефектом масс $\Delta m$. Связь между выделившейся энергией $E$ и дефектом масс дается формулой Эйнштейна:

$E = \Delta m \cdot c^2$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Дефект масс равен разности суммарной массы частиц до реакции и суммарной массы частиц после реакции:

$\Delta m = (m({}_3^7\text{Li}) + m({}_1^2\text{H})) - (m({}_4^8\text{Be}) + m_n)$

Если $\Delta m > 0$, то реакция является экзотермической, т.е. идет с выделением энергии.

Вычислим суммарную массу частиц до реакции (реагентов):

$M_{до} = m({}_3^7\text{Li}) + m({}_1^2\text{H}) = 7.016004 \text{ а.е.м.} + 2.014102 \text{ а.е.м.} = 9.030106 \text{ а.е.м.}$

Вычислим суммарную массу частиц после реакции (продуктов):

$M_{после} = m({}_4^8\text{Be}) + m_n = 8.005305 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.} = 9.013970 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем дефект масс:

$\Delta m = M_{до} - M_{после} = 9.030106 \text{ а.е.м.} - 9.013970 \text{ а.е.м.} = 0.016136 \text{ а.е.м.}$

Поскольку дефект масс положителен, энергия в ходе реакции выделяется.

Для удобства расчетов воспользуемся энергетическим эквивалентом атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \approx 931.5 \text{ МэВ}$.

Тогда выделившаяся энергия равна:

$E = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

$E = 0.016136 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 15.029 \text{ МэВ}$

Выделившаяся энергия составляет примерно $15.03$ МэВ.

Ответ: $15.03 \text{ МэВ}$.

1222. Ядро $_{3}^{7}\text{Li}$, захватывая протон, распадается на две $\alpha$-частицы. Определить сумму кинетических энергий этих частиц. Кинетической энергией протона пренебречь.

Дано:
Ядерная реакция: ядро лития-7 ($^7_3Li$) захватывает протон ($^1_1p$) и распадается на две $\alpha$-частицы ($^4_2He$).
Реакция: $^7_3Li + ^1_1p \rightarrow 2 \cdot ^4_2He$.
Кинетической энергией протона можно пренебречь ($K_p \approx 0$).
Начальная кинетическая энергия ядра лития равна нулю ($K_{Li} = 0$).
Массы атомов (из справочных таблиц):
$m(^7Li) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$
$m(^1H) = 1.007825 \text{ а.е.м.}$ (масса атома водорода, используется для удобства, так как массы электронов сокращаются)
$m(^4He) = 4.002603 \text{ а.е.м.}$
Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$.

Найти:
Сумму кинетических энергий двух $\alpha$-частиц, $K_{сумм}$.

Решение:
Запишем уравнение ядерной реакции:
$^7_3Li + ^1_1p \rightarrow ^4_2He + ^4_2He$
Согласно закону сохранения энергии, суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц $K_{сумм}$ равна энергии, выделившейся в ходе реакции $Q$. Это происходит потому, что по условию начальная кинетическая энергия системы (ядра лития и протона) пренебрежимо мала.
Энергия $Q$ выделяется за счет уменьшения массы покоя системы (дефекта масс $\Delta m$):
$K_{сумм} = Q = \Delta m \cdot c^2$
где $c$ - скорость света в вакууме.
Дефект масс $\Delta m$ - это разность между суммой масс частиц до реакции и суммой масс частиц после реакции.
$\Delta m = (m_{Li} + m_p) - 2 \cdot m_{\alpha}$
Для расчетов удобно использовать массы нейтральных атомов, так как количество электронов до реакции (3 у Li + 1 у H = 4) и после реакции (2 у He + 2 у He = 4) одинаково, и их массы взаимно сокращаются.
$\Delta m = (m(^7Li) + m(^1H)) - 2 \cdot m(^4He)$
Подставим значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):
$\Delta m = (7.016004 \text{ а.е.м.} + 1.007825 \text{ а.е.м.}) - 2 \cdot 4.002603 \text{ а.е.м.}$
$\Delta m = 8.023829 \text{ а.е.м.} - 8.005206 \text{ а.е.м.} = 0.018623 \text{ а.е.м.}$
Теперь найдем выделившуюся энергию, используя энергетический эквивалент 1 а.е.м., который равен $931.5 \text{ МэВ}$.
$K_{сумм} = Q = 0.018623 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 17.346 \text{ МэВ}$
Переведем полученное значение в систему СИ (Джоули):
$K_{сумм} = 17.346 \text{ МэВ} = 17.346 \times 10^6 \text{ эВ} \cdot 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.779 \times 10^{-12} \text{ Дж}$

Ответ: Сумма кинетических энергий этих частиц составляет приблизительно $17.346 \text{ МэВ}$ (или $2.779 \times 10^{-12} \text{ Дж}$).

1223. Какую минимальную энергию должна иметь $\alpha$-частица для осуществления ядерной реакции

$_{3}^{7}\text{Li} + _{2}^{4}\text{H} \to _{5}^{10}\text{Be} + _{0}^{1}n?$

Дано:

Ядерная реакция: $ \ce{_3^7Li} + \ce{_2^4He} \to \ce{_5^{10}Be} + \ce{_0^1n} $

Массы ядер и частиц в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m_{\ce{Li}} = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$m_{\alpha} = 4.002603 \text{ а.е.м.}$ (масса $\alpha$-частицы, ядра гелия $_2^4He$)

$m_{\ce{Be}} = 10.013534 \text{ а.е.м.}$

$m_{\ce{n}} = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

$E_{min}$ — минимальная кинетическая энергия $\alpha$-частицы.

Решение:

Минимальная энергия, которую должна иметь налетающая частица для осуществления ядерной реакции, называется пороговой энергией. Она необходима для реакций, идущих с поглощением энергии (эндотермических реакций). Такая энергия требуется не только для компенсации дефекта масс, но и для обеспечения выполнения закона сохранения импульса.

Сначала определим энергетический выход реакции $Q$. Он равен разности энергий покоя начальных и конечных частиц:

$Q = (m_{\text{начальные}} - m_{\text{конечные}}) \cdot c^2 = (m_{\ce{Li}} + m_{\alpha} - m_{\ce{Be}} - m_{\ce{n}}) \cdot c^2$

Вычислим изменение массы (дефект масс) $\Delta m$ в а.е.м.:

$\Delta m = (m_{\ce{Li}} + m_{\alpha}) - (m_{\ce{Be}} + m_{\ce{n}})$

$\Delta m = (7.016004 \text{ а.е.м.} + 4.002603 \text{ а.е.м.}) - (10.013534 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.})$

$\Delta m = 11.018607 \text{ а.е.м.} - 11.022199 \text{ а.е.м.} = -0.003592 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем энергетический выход $Q$ в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$Q = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} = -0.003592 \times 931.5 \text{ МэВ} \approx -3.346 \text{ МэВ}$

Так как $Q < 0$, реакция является эндотермической, то есть для ее протекания требуется сообщить начальным частицам дополнительную кинетическую энергию.

Минимальная кинетическая энергия налетающей $\alpha$-частицы ($E_{min}$) при условии, что ядро-мишень ($^7\text{Li}$) покоится, определяется пороговой энергией реакции, которая вычисляется по формуле:

$E_{min} = -Q \left(1 + \frac{m_{\text{налетающей}}}{m_{\text{мишени}}}\right)$

В нашем случае налетающая частица — это $\alpha$-частица, а мишень — ядро лития $^7\text{Li}$.

$E_{min} = -Q \left(1 + \frac{m_{\alpha}}{m_{\ce{Li}}}\right)$

Подставим известные значения масс и вычисленное значение $Q$:

$E_{min} = -(-3.346 \text{ МэВ}) \times \left(1 + \frac{4.002603 \text{ а.е.м.}}{7.016004 \text{ а.е.м.}}\right)$

$E_{min} = 3.346 \text{ МэВ} \times \left(1 + 0.57053\right) = 3.346 \text{ МэВ} \times 1.57053 \approx 5.256 \text{ МэВ}$

Примечание: В условии задачи $\alpha$-частица обозначена как $_2^4\text{H}$, что является опечаткой. Стандартное обозначение $\alpha$-частицы — ядро гелия $_2^4\text{He}$. Расчеты проведены для $\alpha$-частицы.

Ответ: Минимальная энергия, которую должна иметь $\alpha$-частица, составляет примерно $5.256 \text{ МэВ}$.

1224. При облучении изотопа азота $_{7}^{15}\text{N}$ протонами образуется углерод и $\alpha$-частица. Найти полезный энергетический выход ядерной реакции, если для её осуществления энергия протона должна быть $1,2 \text{ МэВ}$.

Дано:

Ядерная реакция: $_{7}^{15}\text{N} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow \text{C} + \alpha$

Кинетическая энергия протона: $K_p = 1,2 \text{ МэВ}$

Масса изотопа азота-15: $m(_{7}^{15}\text{N}) = 15,000109 \text{ а.е.м.}$

Масса протона: $m(_{1}^{1}\text{p}) = 1,007825 \text{ а.е.м.}$

Масса альфа-частицы (ядра гелия-4): $m(_{2}^{4}\text{He}) = 4,002603 \text{ а.е.м.}$

Масса изотопа углерода-12: $m(_{6}^{12}\text{C}) = 12,000000 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$

Найти:

Полезный энергетический выход реакции $E_{\text{полезный}}$

Решение:

1. Запишем уравнение ядерной реакции. Продукт реакции - углерод и α-частица ($_{2}^{4}\text{He}$). Обозначим неизвестный изотоп углерода как $_{Z}^{A}\text{C}$.

$$_{7}^{15}\text{N} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow _{Z}^{A}\text{C} + _{2}^{4}\text{He}$$

Согласно законам сохранения массового числа и заряда:

- Сохранение массового числа (числа нуклонов): $15 + 1 = A + 4 \implies A = 16 - 4 = 12$.

- Сохранение заряда (числа протонов): $7 + 1 = Z + 2 \implies Z = 8 - 2 = 6$.

Таким образом, в реакции образуется изотоп углерода $_{6}^{12}\text{C}$.

Полное уравнение реакции:

$$_{7}^{15}\text{N} + _{1}^{1}\text{p} \rightarrow _{6}^{12}\text{C} + _{2}^{4}\text{He}$$

2. Рассчитаем энергетический выход реакции (Q-значение). Он определяется дефектом масс — разностью масс исходных ядер и продуктов реакции.

Масса исходных частиц:

$m_{\text{исх}} = m(_{7}^{15}\text{N}) + m(_{1}^{1}\text{p}) = 15,000109 \text{ а.е.м.} + 1,007825 \text{ а.е.м.} = 16,007934 \text{ а.е.м.}$

Масса продуктов реакции:

$m_{\text{прод}} = m(_{6}^{12}\text{C}) + m(_{2}^{4}\text{He}) = 12,000000 \text{ а.е.м.} + 4,002603 \text{ а.е.м.} = 16,002603 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс:

$\Delta m = m_{\text{исх}} - m_{\text{прод}} = 16,007934 - 16,002603 = 0,005331 \text{ а.е.м.}$

Энергетический выход $Q$ равен энергии, эквивалентной дефекту масс:

$Q = \Delta m \cdot c^2 = 0,005331 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 4,966 \text{ МэВ}$

Так как $Q > 0$, реакция является экзотермической, то есть протекает с выделением энергии.

3. Найдем полезный энергетический выход. Под полезным выходом понимается разница между выделившейся в ходе реакции энергией $Q$ и энергией, которую необходимо было затратить для её осуществления (кинетическая энергия протона $K_p$).

$E_{\text{полезный}} = Q - K_p$

$E_{\text{полезный}} = 4,966 \text{ МэВ} - 1,2 \text{ МэВ} = 3,766 \text{ МэВ}$

Округлим результат до сотых, так как наименьшая точность у исходных данных - десятые доли.

$E_{\text{полезный}} \approx 3,77 \text{ МэВ}$

Ответ: полезный энергетический выход ядерной реакции составляет приблизительно $3,77 \text{ МэВ}$.