Номер 1223, страница 160 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1223. Какую минимальную энергию должна иметь $\alpha$-частица для осуществления ядерной реакции

$_{3}^{7}\text{Li} + _{2}^{4}\text{H} \to _{5}^{10}\text{Be} + _{0}^{1}n?$

Дано:

Ядерная реакция: $ \ce{_3^7Li} + \ce{_2^4He} \to \ce{_5^{10}Be} + \ce{_0^1n} $

Массы ядер и частиц в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m_{\ce{Li}} = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$m_{\alpha} = 4.002603 \text{ а.е.м.}$ (масса $\alpha$-частицы, ядра гелия $_2^4He$)

$m_{\ce{Be}} = 10.013534 \text{ а.е.м.}$

$m_{\ce{n}} = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

$E_{min}$ — минимальная кинетическая энергия $\alpha$-частицы.

Решение:

Минимальная энергия, которую должна иметь налетающая частица для осуществления ядерной реакции, называется пороговой энергией. Она необходима для реакций, идущих с поглощением энергии (эндотермических реакций). Такая энергия требуется не только для компенсации дефекта масс, но и для обеспечения выполнения закона сохранения импульса.

Сначала определим энергетический выход реакции $Q$. Он равен разности энергий покоя начальных и конечных частиц:

$Q = (m_{\text{начальные}} - m_{\text{конечные}}) \cdot c^2 = (m_{\ce{Li}} + m_{\alpha} - m_{\ce{Be}} - m_{\ce{n}}) \cdot c^2$

Вычислим изменение массы (дефект масс) $\Delta m$ в а.е.м.:

$\Delta m = (m_{\ce{Li}} + m_{\alpha}) - (m_{\ce{Be}} + m_{\ce{n}})$

$\Delta m = (7.016004 \text{ а.е.м.} + 4.002603 \text{ а.е.м.}) - (10.013534 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.})$

$\Delta m = 11.018607 \text{ а.е.м.} - 11.022199 \text{ а.е.м.} = -0.003592 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем энергетический выход $Q$ в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$Q = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} = -0.003592 \times 931.5 \text{ МэВ} \approx -3.346 \text{ МэВ}$

Так как $Q < 0$, реакция является эндотермической, то есть для ее протекания требуется сообщить начальным частицам дополнительную кинетическую энергию.

Минимальная кинетическая энергия налетающей $\alpha$-частицы ($E_{min}$) при условии, что ядро-мишень ($^7\text{Li}$) покоится, определяется пороговой энергией реакции, которая вычисляется по формуле:

$E_{min} = -Q \left(1 + \frac{m_{\text{налетающей}}}{m_{\text{мишени}}}\right)$

В нашем случае налетающая частица — это $\alpha$-частица, а мишень — ядро лития $^7\text{Li}$.

$E_{min} = -Q \left(1 + \frac{m_{\alpha}}{m_{\ce{Li}}}\right)$

Подставим известные значения масс и вычисленное значение $Q$:

$E_{min} = -(-3.346 \text{ МэВ}) \times \left(1 + \frac{4.002603 \text{ а.е.м.}}{7.016004 \text{ а.е.м.}}\right)$

$E_{min} = 3.346 \text{ МэВ} \times \left(1 + 0.57053\right) = 3.346 \text{ МэВ} \times 1.57053 \approx 5.256 \text{ МэВ}$

Примечание: В условии задачи $\alpha$-частица обозначена как $_2^4\text{H}$, что является опечаткой. Стандартное обозначение $\alpha$-частицы — ядро гелия $_2^4\text{He}$. Расчеты проведены для $\alpha$-частицы.

Ответ: Минимальная энергия, которую должна иметь $\alpha$-частица, составляет примерно $5.256 \text{ МэВ}$.