Номер 1226, страница 161 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1226. При делении изотопа урана $^{235}_{92}\text{U}$ освобождается энергия 200 МэВ, причём 84% этой энергии приобретают осколки деления. Считая, что этими осколками являются ядра бария $^{137}_{56}\text{Ba}$ и криптона $^{84}_{36}\text{Kr}$ и что импульсы их по модулю одинаковы, найти энергию осколков.

Дано:

Полная энергия, освобождающаяся при делении ядра урана $_{92}^{235}\textrm{U}$, $E_{общ} = 200 \text{ МэВ}$.
Доля энергии, переходящая в кинетическую энергию осколков, $\eta = 84\% = 0.84$.
Осколки деления: ядро бария $_{56}^{137}\textrm{Ba}$ и ядро криптона $_{36}^{84}\textrm{Kr}$.
Массовое число бария $A_{Ba} = 137$.
Массовое число криптона $A_{Kr} = 84$.
Импульсы осколков по модулю равны: $p_{Ba} = p_{Kr}$.

Найти:

Кинетическую энергию ядра бария $E_{Ba}$ и кинетическую энергию ядра криптона $E_{Kr}$.

Решение:

1. Найдем суммарную кинетическую энергию $E_k$, которую приобретают осколки деления. Она составляет 84% от общей выделившейся энергии: $E_k = E_{общ} \cdot \eta = 200 \text{ МэВ} \cdot 0.84 = 168 \text{ МэВ}$.

Эта энергия равна сумме кинетических энергий ядра бария и ядра криптона: $E_k = E_{Ba} + E_{Kr}$.

2. Согласно условию задачи, импульсы осколков по модулю равны. Это также следует из закона сохранения импульса, так как начальный импульс ядра урана (если считать его покоящимся до деления) равен нулю: $\vec{p}_{Ba} + \vec{p}_{Kr} = 0 \implies p_{Ba} = p_{Kr} = p$.

3. Связь между кинетической энергией $E$ и импульсом $p$ частицы массой $m$ выражается формулой: $E = \frac{p^2}{2m}$.

Запишем это выражение для каждого осколка: $E_{Ba} = \frac{p^2}{2m_{Ba}}$
$E_{Kr} = \frac{p^2}{2m_{Kr}}$

4. Найдем отношение кинетических энергий осколков: $\frac{E_{Ba}}{E_{Kr}} = \frac{p^2 / (2m_{Ba})}{p^2 / (2m_{Kr})} = \frac{m_{Kr}}{m_{Ba}}$.

Массы ядер можно считать пропорциональными их массовым числам ($A$), т.е. $m \approx A \cdot u$, где $u$ — атомная единица массы. Тогда отношение масс равно отношению массовых чисел: $\frac{m_{Kr}}{m_{Ba}} = \frac{A_{Kr}}{A_{Ba}} = \frac{84}{137}$.

Следовательно, отношение энергий: $\frac{E_{Ba}}{E_{Kr}} = \frac{84}{137}$.

5. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($E_{Ba}$ и $E_{Kr}$):
$E_{Ba} + E_{Kr} = 168 \text{ МэВ}$
$E_{Ba} = \frac{84}{137} E_{Kr}$

Подставим второе уравнение в первое: $\frac{84}{137} E_{Kr} + E_{Kr} = 168$
$E_{Kr} \left(\frac{84}{137} + 1\right) = 168$
$E_{Kr} \left(\frac{84 + 137}{137}\right) = 168$
$E_{Kr} \left(\frac{221}{137}\right) = 168$
$E_{Kr} = 168 \cdot \frac{137}{221} = \frac{23016}{221} \approx 104.1 \text{ МэВ}$.

Теперь найдем энергию ядра бария, используя первое уравнение: $E_{Ba} = 168 - E_{Kr} \approx 168 - 104.1 = 63.9 \text{ МэВ}$.

Ответ: энергия ядра бария $E_{Ba} \approx 63.9 \text{ МэВ}$, энергия ядра криптона $E_{Kr} \approx 104.1 \text{ МэВ}$.