Номер 1231, страница 161 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1231. Толщина $h$ слоя перекрытия, ослабляющего данное ионизирующее излучение в 2 раза, носит название толщины слоя половинного ослабления. Доказать, что слой толщиной $H = nh$ ослабляет излучение в $2^n$ раз.

Дано:

$h$ - толщина слоя перекрытия, ослабляющего излучение в 2 раза (толщина слоя половинного ослабления).
$H = nh$ - общая толщина слоя, где $n$ - количество слоев половинного ослабления.

Найти:

Доказать, что слой толщиной $H$ ослабляет излучение в $2^n$ раз.

Решение:

Пусть $I_0$ — это начальная интенсивность ионизирующего излучения.

Согласно условию, слой толщиной $h$ ослабляет излучение в 2 раза. Это означает, что после прохождения через один такой слой интенсивность излучения $I_1$ станет:

$I_1 = \frac{I_0}{2}$

Рассмотрим слой толщиной $H = nh$. Этот слой можно представить как $n$ последовательно расположенных слоев, каждый толщиной $h$.

После прохождения первого слоя интенсивность станет $I_1 = I_0/2$.

Когда излучение с интенсивностью $I_1$ проходит через второй слой толщиной $h$, его интенсивность снова уменьшается в 2 раза. Интенсивность после второго слоя, $I_2$, будет:

$I_2 = \frac{I_1}{2} = \frac{I_0/2}{2} = \frac{I_0}{2^2}$

Аналогично, после прохождения третьего слоя интенсивность $I_3$ составит:

$I_3 = \frac{I_2}{2} = \frac{I_0/2^2}{2} = \frac{I_0}{2^3}$

Закономерность очевидна: после прохождения $k$-го слоя интенсивность становится $I_k = I_0/2^k$. Следовательно, после прохождения $n$ слоев (то есть слоя общей толщиной $H = nh$) итоговая интенсивность $I_n$ будет равна:

$I_n = \frac{I_0}{2^n}$

Кратность ослабления излучения $K$ определяется как отношение начальной интенсивности к конечной. Для слоя толщиной $H = nh$ она будет равна:

$K = \frac{I_0}{I_n} = \frac{I_0}{I_0/2^n} = 2^n$

Таким образом, мы доказали, что слой толщиной $H = nh$ ослабляет излучение в $2^n$ раз.

Это же можно доказать более формально, используя закон ослабления интенсивности излучения (закон Бугера-Ламберта-Бера):

$I(x) = I_0 e^{-\mu x}$

где $I(x)$ — интенсивность после прохождения слоя толщиной $x$, а $\mu$ — линейный коэффициент ослабления.

Для слоя половинного ослабления $h$ имеем: $I(h) = I_0/2$.

$\frac{I_0}{2} = I_0 e^{-\mu h} \implies \frac{1}{2} = e^{-\mu h}$

Для слоя толщиной $H=nh$ интенсивность $I(H)$ будет:

$I(H) = I_0 e^{-\mu H} = I_0 e^{-\mu (nh)} = I_0 (e^{-\mu h})^n$

Подставив $e^{-\mu h} = 1/2$, получаем:

$I(H) = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{I_0}{2^n}$

Тогда кратность ослабления $K = \frac{I_0}{I(H)} = \frac{I_0}{I_0/2^n} = 2^n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Слой толщиной $H = nh$ можно рассматривать как $n$ последовательных слоев толщиной $h$. Каждый из этих слоев ослабляет падающее на него излучение в 2 раза. Следовательно, после прохождения первого слоя интенсивность составит $I_0/2$, после второго — $(I_0/2)/2 = I_0/2^2$, и так далее. После прохождения всех $n$ слоев итоговая интенсивность будет $I_0/2^n$. Кратность ослабления, как отношение начальной интенсивности к конечной, равна $I_0 / (I_0/2^n) = 2^n$.