Страница 156 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1180. Формула Ритца—Ридберга обычно приводится в виде: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{k^2} \right)$. Коэффициент $R_H$ носит название постоянной Ридберга для водорода. Найти значение $R_H$ (с точностью до четырёх цифр), если известно, что при переходе атома водорода из четвёртого энергетического состояния во второе излучается фотон, соответствующий зелёной линии в спектре водорода с длиной волны 486,13 нм. Полученным результатом следует пользоваться при решении последующих задач.

Дано:

Начальное энергетическое состояние (главное квантовое число): $k=4$
Конечное энергетическое состояние (главное квантовое число): $n=2$
Длина волны излучаемого фотона: $\lambda = 486,13 \text{ нм}$

$\lambda = 486,13 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Постоянную Ридберга для водорода $R_H$.

Решение:

Для определения постоянной Ридберга $R_H$ используется формула Ритца–Ридберга, которая связывает длину волны излученного фотона с квантовыми числами энергетических уровней, между которыми происходит переход:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{k^2} \right)$

Здесь $\lambda$ — длина волны фотона, $n$ и $k$ — главные квантовые числа конечного и начального уровней соответственно (при излучении $k > n$).

Чтобы найти $R_H$, выразим ее из данной формулы:

$R_H = \frac{1}{\lambda \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{k^2} \right)}$

Согласно условию, переход электрона в атоме водорода происходит с четвёртого энергетического уровня ($k=4$) на второй ($n=2$). Подставим эти значения и значение длины волны в полученную формулу:

$R_H = \frac{1}{486,13 \times 10^{-9} \text{ м} \cdot \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)}$

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$

Теперь подставим этот результат обратно в выражение для $R_H$ и произведем вычисления:

$R_H = \frac{1}{486,13 \times 10^{-9} \text{ м} \cdot \frac{3}{16}} = \frac{16}{486,13 \times 3 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{16}{1458,39 \times 10^{-9} \text{ м}}$

$R_H \approx 0,01097100 \times 10^9 \text{ м}^{-1} \approx 1,097100 \times 10^7 \text{ м}^{-1}$

По условию задачи, результат необходимо представить с точностью до четырёх значащих цифр. Округляем полученное значение:

$R_H \approx 1,097 \times 10^7 \text{ м}^{-1}$

Ответ: $R_H = 1,097 \times 10^7 \text{ м}^{-1}$.

1181. Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовом спектре водорода.

Дано:

Атом водорода
Постоянная Ридберга: $R \approx 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Найти:

$\lambda_{max}$ — наибольшую длину волны в ультрафиолетовом спектре водорода.

Решение:

Длины волн излучения атома водорода определяются обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) $

где $ \lambda $ — длина волны излучения, $ R $ — постоянная Ридберга, $ n_1 $ — главное квантовое число энергетического уровня, на который переходит электрон, а $ n_2 $ — главное квантовое число уровня, с которого он переходит ($ n_2 > n_1 $).

Ультрафиолетовая часть спектра водорода соответствует серии Лаймана, для которой переходы электронов происходят на основной энергетический уровень, то есть $ n_1 = 1 $. Начальные уровни могут быть $ n_2 = 2, 3, 4, \dots $

Длина волны $\lambda$ обратно пропорциональна энергии излучаемого фотона $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$. Наибольшей длине волны $\lambda_{max}$ соответствует наименьшая энергия перехода. В серии Лаймана наименьшая энергия будет при переходе с ближайшего вышележащего уровня, то есть с $ n_2 = 2 $ на $ n_1 = 1 $.

Подставим эти значения в формулу Ридберга, чтобы найти $\lambda_{max}$:

$ \frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} $

Отсюда выражаем искомую длину волны:

$ \lambda_{max} = \frac{4}{3R} $

Теперь подставим числовое значение постоянной Ридберга:

$ \lambda_{max} = \frac{4}{3 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx \frac{4}{3.291 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1.215 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$ \lambda_{max} = 1.215 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 121.5 \text{ нм} $

Эта длина волны действительно находится в ультрафиолетовом диапазоне.

Ответ: наибольшая длина волны в ультрафиолетовом спектре водорода составляет примерно $121.5 \text{ нм}$.

1182. Какой длины волны надо направить свет на водород, чтобы ионизировать атомы?

Дано:

Энергия ионизации атома водорода из основного состояния $E_{ион} = 13,6 \text{ эВ}$

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Переведем энергию ионизации в систему СИ (Джоули):

$E_{ион} = 13,6 \text{ эВ} = 13,6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Длину волны света $\lambda$

Решение:

Ионизация атома водорода — это процесс отрыва электрона от атома. Для этого электрону необходимо сообщить энергию, достаточную для его перехода с основного энергетического уровня ($n=1$) на уровень, где его энергия связи с ядром равна нулю ($n=\infty$). Минимальная энергия, необходимая для этого, называется энергией ионизации. По умолчанию считается, что атом водорода находится в основном (невозбужденном) состоянии, энергия которого составляет $-13,6 \text{ эВ}$. Следовательно, энергия ионизации равна $13,6 \text{ эВ}$.

Энергия фотона света, который может вызвать ионизацию, должна быть не меньше энергии ионизации:

$E_{ф} \ge E_{ион}$

Энергия фотона $E_{ф}$ связана с длиной волны света $\lambda$ соотношением:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света.

Чтобы найти пороговое значение, то есть максимальную длину волны, при которой еще возможна ионизация, приравняем энергию фотона к энергии ионизации:

$\frac{hc}{\lambda} = E_{ион}$

Отсюда выразим длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{E_{ион}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{2,18 \cdot 10^{-18}} \text{ м} \approx 9,12 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры для наглядности ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$9,12 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 91,2 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 91,2 \text{ нм}$

Это максимальная длина волны света, способного ионизировать атом водорода. Свет с любой меньшей длиной волны (и, соответственно, большей энергией) также вызовет ионизацию, при этом избыток энергии перейдет в кинетическую энергию оторванного электрона. Эта длина волны соответствует границе серии Лаймана в спектре водорода.

Ответ: чтобы ионизировать атомы водорода, на них надо направить свет с длиной волны не более 91,2 нм ($\lambda \le 91,2 \text{ нм}$).

1183. Какую минимальную скорость должны иметь электроны, чтобы ударом перевести атом водорода из первого энергетического состояния в пятое?

Дано:

Найти:

Решение:

Для того чтобы электрон при столкновении перевел атом водорода из первого энергетического состояния в пятое, его кинетическая энергия должна быть не меньше энергии, необходимой для этого перехода. Минимальная скорость электрона соответствует случаю, когда вся его начальная кинетическая энергия расходуется на возбуждение атома.

Энергия атома водорода на $k$-м энергетическом уровне определяется формулой Бора: $E_k = -\frac{E_0}{k^2}$ где $E_0$ — энергия ионизации атома водорода из основного состояния.

Энергия атома в начальном состоянии ($n=1$): $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0$

Энергия атома в конечном состоянии ($m=5$): $E_5 = -\frac{E_0}{5^2} = -\frac{E_0}{25}$

Энергия возбуждения $\Delta E$, которую должен получить атом, равна разности энергий конечного и начального состояний: $\Delta E = E_5 - E_1 = \left(-\frac{E_0}{25}\right) - (-E_0) = E_0 - \frac{E_0}{25} = E_0\left(1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{24}{25}E_0$

Минимальная кинетическая энергия электрона $K_{min}$ должна быть равна этой энергии возбуждения: $K_{min} = \Delta E = \frac{24}{25}E_0$

Кинетическая энергия электрона связана с его массой $m_e$ и скоростью $v$ соотношением: $K = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравнивая два выражения для энергии, получаем: $\frac{m_e v_{min}^2}{2} = \frac{24}{25}E_0$

Выразим из этого уравнения минимальную скорость $v_{min}$: $v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{24}{25}E_0}{m_e}} = \sqrt{\frac{48 E_0}{25 m_e}}$

Подставим числовые значения. Сначала вычислим энергию возбуждения $\Delta E$: $\Delta E = \frac{24}{25} \cdot 13.6 \text{ эВ} = 0.96 \cdot 13.6 \text{ эВ} = 13.056 \text{ эВ}$

Переведем эту энергию в джоули: $\Delta E = 13.056 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.089 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь можно рассчитать скорость: $v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta E}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.089 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{4.178 \cdot 10^{-18}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_{min} \approx \sqrt{0.4586 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{4.586 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2.14 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: минимальная скорость, которую должны иметь электроны, составляет примерно $2.14 \cdot 10^6$ м/с.

1184. Стеклянный баллон лампы дневного света покрывают с внутренней стороны люминофором — веществом, которое при облучении фиолетовым или ультрафиолетовым светом даёт спектр, близкий к солнечному. Объяснить причину явления.

Решение

Явление, описанное в задаче, называется люминесценцией, а точнее — фотолюминесценцией (или флуоресценцией). Оно заключается в способности вещества (люминофора) поглощать энергию в виде света одной длины волны и затем излучать её в виде света другой, как правило, большей длины волны. Этот процесс объясняется на основе квантовой теории строения атома.

1. Атомы люминофора поглощают фотоны фиолетового или ультрафиолетового света. Эти фотоны обладают высокой энергией, так как энергия фотона $E$ обратно пропорциональна длине волны $\lambda$ и прямо пропорциональна частоте $\nu$: $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$, где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света. Ультрафиолетовый свет имеет короткую длину волны и, соответственно, высокую энергию фотонов.

2. Поглотив фотон, электрон в атоме люминофора переходит на более высокий энергетический уровень. Атом оказывается в возбужденном состоянии.

3. Это возбужденное состояние является неустойчивым, и электрон стремится вернуться на свой первоначальный, более низкий энергетический уровень (в основное состояние). Возврат может происходить не одним скачком, а через несколько промежуточных энергетических уровней. При каждом таком переходе "вниз" атом излучает фотон.

4. Энергия излучённого фотона $E_{изл}$ равна разности энергий между уровнями, между которыми совершается переход. Так как часть поглощенной энергии может быть потеряна нерадиационно (например, на колебания кристаллической решетки, то есть в тепло) или возврат в основное состояние происходит ступенчато, то энергия каждого излучённого фотона оказывается меньше энергии поглощенного фотона: $E_{изл} < E_{погл}$.

5. Согласно формуле $E = hc/\lambda$, меньшей энергии фотона соответствует большая длина волны. Таким образом, люминофор преобразует невидимое коротковолновое ультрафиолетовое излучение в видимый свет с большей длиной волны.

Для того чтобы итоговое излучение имело спектр, близкий к солнечному (то есть было белым), в качестве люминофора используют смесь нескольких веществ. Каждое вещество в смеси испускает свет в своей определенной части видимого спектра (например, красной, зеленой и синей). Совокупность этих излучений воспринимается человеческим глазом как белый свет.

Ответ: Причиной явления является фотолюминесценция. Атомы люминофора поглощают высокоэнергетические фотоны ультрафиолетового света, переходя в возбужденное состояние. Затем они возвращаются в основное состояние, излучая фотоны с меньшей энергией, что соответствует свету с большей длиной волны, который находится в видимой части спектра. Использование смеси различных люминофоров позволяет получить суммарный спектр излучения, близкий к спектру солнечного света.

1185. Для обнаружения поверхностных дефектов в изделии (микроскопические трещины, царапины и т. д.) на изделие наносится тонкий слой керосино-масляного раствора специального вещества, излишки которого затем удаляются. Объяснить причину видимого свечения раствора при облучении ультрафиолетовым светом.

Описанное явление называется люминесценцией, а точнее, её разновидностью — флуоресценцией. Специальное вещество в растворе, наносимом на изделие, является люминофором.

Процесс свечения происходит следующим образом. Молекулы люминофора поглощают энергию падающего на них ультрафиолетового (УФ) излучения. УФ-излучение невидимо для человеческого глаза, так как его длина волны короче, чем у видимого света, а энергия фотонов, соответственно, выше. Энергия фотона определяется формулой $E = h\nu$, где $h$ — постоянная Планка, а $\nu$ — частота излучения.

Поглотив фотон УФ-света, молекула переходит в возбуждённое энергетическое состояние. Это состояние нестабильно, и молекула стремится вернуться в основное, более стабильное состояние. Возврат происходит путём испускания нового фотона. Однако часть поглощённой энергии обычно теряется (например, рассеивается в виде тепла из-за колебаний молекулы), поэтому испускаемый фотон имеет меньшую энергию, чем поглощённый.

Так как энергия фотона и длина волны связаны соотношением $E = hc/\lambda$ (где $c$ — скорость света, а $\lambda$ — длина волны), то меньшая энергия излучённого фотона означает бо́льшую длину волны. Эта новая, бо́льшая длина волны оказывается в видимой части спектра. Таким образом, вещество преобразует невидимое ультрафиолетовое излучение в видимый свет, что и воспринимается как свечение.

В контексте дефектоскопии, раствор проникает в мельчайшие трещины и царапины за счёт капиллярного эффекта. После удаления излишков раствора с поверхности он остаётся только в дефектах, которые и начинают ярко светиться под УФ-лампой, делая их легко заметными.

Ответ: Причиной видимого свечения является явление флуоресценции. Специальное вещество (люминофор) в растворе поглощает невидимое глазу высокоэнергетическое ультрафиолетовое излучение и переизлучает энергию в виде света с меньшей энергией и, соответственно, большей длиной волны, которая попадает в видимый диапазон спектра.

1186. Лазер, работающий в импульсном режиме, потребляет мощность 1 кВт. Длительность одного импульса 5 мкс, а число импульсов в 1 с равно 200. Найти излучаемую энергию и мощность одного импульса, если на излучение идет 0,1% потребляемой мощности.

Дано:

Найти:

Решение:

1. Сначала найдем среднюю мощность, которая идет на излучение ($P_{изл}$). Она составляет 0,1% от потребляемой мощности лазера.

$P_{изл} = P_{потр} \cdot \eta$

$P_{изл} = 1000 \text{ Вт} \cdot 0,001 = 1 \text{ Вт}$

2. Эта средняя мощность излучения соответствует полной энергии ($E_{общ\_изл}$), излучаемой лазером за 1 секунду.

$E_{общ\_изл} = P_{изл} \cdot t = 1 \text{ Вт} \cdot 1 \text{ с} = 1 \text{ Дж}$

3. За 1 секунду лазер генерирует 200 импульсов. Следовательно, энергия одного импульса ($E_{имп}$) равна общей излученной энергии, деленной на число импульсов.

$E_{имп} = \frac{E_{общ\_изл}}{N}$

$E_{имп} = \frac{1 \text{ Дж}}{200} = 0,005 \text{ Дж} = 5 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

4. Теперь найдем мощность одного импульса ($P_{имп}$). Она равна энергии импульса, деленной на его длительность ($t_{имп}$).

$P_{имп} = \frac{E_{имп}}{t_{имп}}$

$P_{имп} = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ Дж}}{5 \times 10^{-6} \text{ с}} = 1 \times 10^{3} \text{ Вт} = 1 \text{ кВт}$

Ответ: излучаемая энергия одного импульса равна $5 \times 10^{-3}$ Дж, мощность одного импульса равна $1$ кВт.

1187. Гелий-неоновый газовый лазер, работающий в непрерывном режиме, даёт излучение монохроматического света с длиной волны 630 нм, развивая мощность 40 мВт. Сколько фотонов излучает лазер за 1 с?

Дано:

Длина волны $\lambda = 630$ нм $= 630 \cdot 10^{-9}$ м
Мощность $P = 40$ мВт $= 40 \cdot 10^{-3}$ Вт
Время $t = 1$ с
Постоянная Планка $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с

Найти:

Число фотонов $N$

Решение:

Мощность лазера $P$ — это энергия, излучаемая в единицу времени. Следовательно, полная энергия $E_{общ}$, излученная за время $t$, равна: $E_{общ} = P \cdot t$

Энергия одного фотона $E_{ф}$ определяется его длиной волны $\lambda$ по формуле Планка: $E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Чтобы найти общее количество фотонов $N$, излученных лазером, необходимо разделить общую энергию излучения на энергию одного фотона: $N = \frac{E_{общ}}{E_{ф}} = \frac{P \cdot t}{\frac{hc}{\lambda}} = \frac{P \cdot t \cdot \lambda}{hc}$

Подставим данные значения в формулу для расчета числа фотонов: $N = \frac{(40 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}) \cdot (1 \text{ с}) \cdot (630 \cdot 10^{-9} \text{ м})}{(6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}) \cdot (3 \cdot 10^{8} \text{ м/с})}$

Выполним вычисления: $N = \frac{25200 \cdot 10^{-12}}{19.89 \cdot 10^{-26}} = \frac{2.52 \cdot 10^{-8}}{1.989 \cdot 10^{-25}} \approx 1.267 \cdot 10^{17}$

Ответ: за 1 с лазер излучает примерно $1.27 \cdot 10^{17}$ фотонов.

1188*. Жидкостный лазер, работающий в импульсном режиме, за один импульс, длящийся 1 мкс, излучает 0,1 Дж лучистой энергии. Расходимость излучения1 2 мрад. Найти плотность потока излучения на расстоянии 6 м от лазера и сравнить с плотностью потока излучения Солнца, падающего на Землю, равного (без учёта поглощения атмосферой) 1,36 кВт/м2.

Дано:

Длительность импульса $t = 1 \text{ мкс} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ с}$
Энергия импульса $E = 0.1 \text{ Дж}$
Расходимость излучения $\theta = 2 \text{ мрад} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$
Расстояние от лазера $L = 6 \text{ м}$
Плотность потока излучения Солнца $I_{Солнца} = 1.36 \text{ кВт/м}^2 = 1.36 \cdot 10^3 \text{ Вт/м}^2$

Найти:

Плотность потока излучения лазера $I_{лазера}$ на расстоянии $L$;
Сравнить $I_{лазера}$ с $I_{Солнца}$.

Решение:

1. Найдем мощность излучения лазера в импульсе. Мощность $P$ — это энергия $E$, излучаемая за единицу времени $t$:$$ P = \frac{E}{t} $$Подставим числовые значения:$$ P = \frac{0.1 \text{ Дж}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = 100000 \text{ Вт} = 1 \cdot 10^5 \text{ Вт} $$

2. Найдем площадь $S$ светового пятна, создаваемого лазером на расстоянии $L$. Лазерный пучок распространяется в виде конуса с полным углом расходимости $\theta$. Радиус светового пятна $r$ на расстоянии $L$ можно найти, используя тангенс половинного угла расходимости $\alpha = \theta/2$.$$ r = L \cdot \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $$Поскольку угол расходимости мал, можно использовать приближение $\tan(x) \approx x$, где угол $x$ выражен в радианах.$$ \frac{\theta}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ рад}}{2} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ рад} $$Тогда радиус пятна:$$ r \approx L \cdot \frac{\theta}{2} = 6 \text{ м} \cdot 1 \cdot 10^{-3} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м} $$

Площадь светового пятна $S$ (площадь круга) равна:$$ S = \pi r^2 = \pi \cdot (6 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 = 36\pi \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 113.1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 $$

3. Теперь можем найти плотность потока излучения (интенсивность) $I_{лазера}$, которая определяется как мощность, приходящаяся на единицу площади:$$ I_{лазера} = \frac{P}{S} $$Подставим вычисленные значения $P$ и $S$:$$ I_{лазера} = \frac{1 \cdot 10^5 \text{ Вт}}{36\pi \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx \frac{1 \cdot 10^5}{113.1 \cdot 10^{-6}} \text{ Вт/м}^2 \approx 8.84 \cdot 10^8 \text{ Вт/м}^2 $$

4. Сравним плотность потока излучения лазера с плотностью потока излучения Солнца. Для этого найдем их отношение:$$ \frac{I_{лазера}}{I_{Солнца}} = \frac{8.84 \cdot 10^8 \text{ Вт/м}^2}{1.36 \cdot 10^3 \text{ Вт/м}^2} \approx 6.5 \cdot 10^5 $$Таким образом, плотность потока излучения лазера в импульсе на расстоянии 6 м примерно в 650 тысяч раз больше плотности потока излучения Солнца у Земли.

Ответ: плотность потока излучения лазера на расстоянии 6 м составляет примерно $8.84 \cdot 10^8 \text{ Вт/м}^2$, что приблизительно в $6.5 \cdot 10^5$ раз больше плотности потока излучения Солнца, падающего на Землю.