Номер 1183, страница 156 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1183. Какую минимальную скорость должны иметь электроны, чтобы ударом перевести атом водорода из первого энергетического состояния в пятое?

Дано:

Найти:

Решение:

Для того чтобы электрон при столкновении перевел атом водорода из первого энергетического состояния в пятое, его кинетическая энергия должна быть не меньше энергии, необходимой для этого перехода. Минимальная скорость электрона соответствует случаю, когда вся его начальная кинетическая энергия расходуется на возбуждение атома.

Энергия атома водорода на $k$-м энергетическом уровне определяется формулой Бора: $E_k = -\frac{E_0}{k^2}$ где $E_0$ — энергия ионизации атома водорода из основного состояния.

Энергия атома в начальном состоянии ($n=1$): $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0$

Энергия атома в конечном состоянии ($m=5$): $E_5 = -\frac{E_0}{5^2} = -\frac{E_0}{25}$

Энергия возбуждения $\Delta E$, которую должен получить атом, равна разности энергий конечного и начального состояний: $\Delta E = E_5 - E_1 = \left(-\frac{E_0}{25}\right) - (-E_0) = E_0 - \frac{E_0}{25} = E_0\left(1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{24}{25}E_0$

Минимальная кинетическая энергия электрона $K_{min}$ должна быть равна этой энергии возбуждения: $K_{min} = \Delta E = \frac{24}{25}E_0$

Кинетическая энергия электрона связана с его массой $m_e$ и скоростью $v$ соотношением: $K = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравнивая два выражения для энергии, получаем: $\frac{m_e v_{min}^2}{2} = \frac{24}{25}E_0$

Выразим из этого уравнения минимальную скорость $v_{min}$: $v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{24}{25}E_0}{m_e}} = \sqrt{\frac{48 E_0}{25 m_e}}$

Подставим числовые значения. Сначала вычислим энергию возбуждения $\Delta E$: $\Delta E = \frac{24}{25} \cdot 13.6 \text{ эВ} = 0.96 \cdot 13.6 \text{ эВ} = 13.056 \text{ эВ}$

Переведем эту энергию в джоули: $\Delta E = 13.056 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.089 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь можно рассчитать скорость: $v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta E}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.089 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{4.178 \cdot 10^{-18}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_{min} \approx \sqrt{0.4586 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{4.586 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2.14 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: минимальная скорость, которую должны иметь электроны, составляет примерно $2.14 \cdot 10^6$ м/с.