Номер 1179, страница 155 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1179. В 1814 г. И. Фраунгофер обнаружил четыре линии поглощения водорода в видимой части спектра Солнца. Наибольшая длина волны в спектре поглощения была 656 нм. Найти длины волн в спектре поглощения, соответствующие остальным линиям.

Дано:

Найти:

Решение:

Линии поглощения водорода в видимой части спектра относятся к серии Бальмера. Эта серия описывает переходы электронов между вторым энергетическим уровнем ($n_1=2$) и более высокими уровнями ($n_2=3, 4, 5, ...$).

Длины волн для этих переходов описываются обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda_n} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$, где $R$ – постоянная Ридберга, а $n = 3, 4, 5, 6, ...$

Наибольшая длина волны соответствует переходу с наименьшей энергией, то есть переходу между ближайшими уровнями для этой серии: с $n=3$ на $n=2$.

Следовательно, данная длина волны $\lambda_{max} = 656 \text{ нм}$ соответствует переходу при $n=3$ (эту линию называют $H_{\alpha}$):

$\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \frac{5}{36}$ (1)

В задаче говорится о четырех линиях, значит, нам нужно найти длины волн для следующих трех переходов: $n=4, n=5$ и $n=6$.

Для второй линии (переход с $n=4$, линия $H_{\beta}$):

$\frac{1}{\lambda_4} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \frac{3}{16}$ (2)

Для третьей линии (переход с $n=5$, линия $H_{\gamma}$):

$\frac{1}{\lambda_5} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = R \frac{21}{100}$ (3)

Для четвертой линии (переход с $n=6$, линия $H_{\delta}$):

$\frac{1}{\lambda_6} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{36} \right) = R \frac{8}{36} = R \frac{2}{9}$ (4)

Чтобы найти неизвестные длины волн, можно составить пропорции, разделив уравнения (2), (3) и (4) на уравнение (1), чтобы исключить постоянную Ридберга $R$.

Найдем $\lambda_4$:

$\frac{1/\lambda_4}{1/\lambda_3} = \frac{\lambda_3}{\lambda_4} = \frac{R \cdot 3/16}{R \cdot 5/36} = \frac{3}{16} \cdot \frac{36}{5} = \frac{27}{20}$

$\lambda_4 = \lambda_3 \cdot \frac{20}{27} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{20}{27} \approx 485.9 \text{ нм} \approx 486 \text{ нм}$

Найдем $\lambda_5$:

$\frac{\lambda_3}{\lambda_5} = \frac{R \cdot 21/100}{R \cdot 5/36} = \frac{21}{100} \cdot \frac{36}{5} = \frac{189}{125}$

$\lambda_5 = \lambda_3 \cdot \frac{125}{189} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{125}{189} \approx 434.1 \text{ нм} \approx 434 \text{ нм}$

Найдем $\lambda_6$:

$\frac{\lambda_3}{\lambda_6} = \frac{R \cdot 2/9}{R \cdot 5/36} = \frac{2}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{8}{5}$

$\lambda_6 = \lambda_3 \cdot \frac{5}{8} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{5}{8} = 410 \text{ нм}$

Ответ: длины волн в спектре поглощения, соответствующие остальным трем линиям, равны примерно $486$ нм, $434$ нм и $410$ нм.