Номер 1181, страница 156 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1181. Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовом спектре водорода.

Дано:

Атом водорода
Постоянная Ридберга: $R \approx 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Найти:

$\lambda_{max}$ — наибольшую длину волны в ультрафиолетовом спектре водорода.

Решение:

Длины волн излучения атома водорода определяются обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) $

где $ \lambda $ — длина волны излучения, $ R $ — постоянная Ридберга, $ n_1 $ — главное квантовое число энергетического уровня, на который переходит электрон, а $ n_2 $ — главное квантовое число уровня, с которого он переходит ($ n_2 > n_1 $).

Ультрафиолетовая часть спектра водорода соответствует серии Лаймана, для которой переходы электронов происходят на основной энергетический уровень, то есть $ n_1 = 1 $. Начальные уровни могут быть $ n_2 = 2, 3, 4, \dots $

Длина волны $\lambda$ обратно пропорциональна энергии излучаемого фотона $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$. Наибольшей длине волны $\lambda_{max}$ соответствует наименьшая энергия перехода. В серии Лаймана наименьшая энергия будет при переходе с ближайшего вышележащего уровня, то есть с $ n_2 = 2 $ на $ n_1 = 1 $.

Подставим эти значения в формулу Ридберга, чтобы найти $\lambda_{max}$:

$ \frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} $

Отсюда выражаем искомую длину волны:

$ \lambda_{max} = \frac{4}{3R} $

Теперь подставим числовое значение постоянной Ридберга:

$ \lambda_{max} = \frac{4}{3 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx \frac{4}{3.291 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1.215 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$ \lambda_{max} = 1.215 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 121.5 \text{ нм} $

Эта длина волны действительно находится в ультрафиолетовом диапазоне.

Ответ: наибольшая длина волны в ультрафиолетовом спектре водорода составляет примерно $121.5 \text{ нм}$.