Номер 1112, страница 147 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1112. С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью 0,4c, посылают два сигнала: световой сигнал и пучок быстрых частиц, имеющих скорость относительно корабля 0,8c. В момент пуска сигналов корабль находился на расстоянии 12 Гм от Земли. Какой из сигналов и на сколько раньше будет принят на Земле?

Дано:

Скорость космического корабля относительно Земли (система отсчета K): $v = 0.4c$
Скорость пучка частиц относительно корабля (система отсчета K'): $v' = 0.8c$
Расстояние от корабля до Земли в момент пуска сигналов: $S = 12 \text{ Гм} = 12 \cdot 10^9 \text{ м}$
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Какой из сигналов придет раньше и на сколько: $\Delta t$

Решение:

1. Найдем время, за которое световой сигнал достигнет Земли. Согласно второму постулату специальной теории относительности, скорость света не зависит от скорости движения источника. Поэтому скорость светового сигнала относительно Земли равна $c$.

Время движения светового сигнала $t_1$ можно найти по формуле: $t_1 = \frac{S}{c}$

2. Найдем скорость пучка частиц относительно Земли. Для этого воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей. Так как и корабль, и частицы движутся в одном направлении (к Земле), формула имеет вид: $u = \frac{v + v'}{1 + \frac{v \cdot v'}{c^2}}$

Подставим значения скоростей: $u = \frac{0.4c + 0.8c}{1 + \frac{0.4c \cdot 0.8c}{c^2}} = \frac{1.2c}{1 + 0.32} = \frac{1.2c}{1.32} = \frac{10}{11}c$

3. Теперь найдем время, за которое пучок частиц достигнет Земли: $t_2 = \frac{S}{u} = \frac{S}{\frac{10}{11}c} = \frac{11S}{10c}$

4. Сравним время прибытия сигналов $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{S}{c}$ и $t_2 = 1.1 \frac{S}{c}$.

Поскольку $t_2 > t_1$, световой сигнал придет на Землю раньше.

5. Найдем разницу во времени прибытия сигналов $\Delta t$: $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{11S}{10c} - \frac{S}{c} = \frac{11S - 10S}{10c} = \frac{S}{10c}$

Подставим числовые значения: $\Delta t = \frac{12 \cdot 10^9 \text{ м}}{10 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{12 \cdot 10^9}{30 \cdot 10^8} \text{ с} = \frac{120}{30} \text{ с} = 4 \text{ с}$

Ответ: Световой сигнал будет принят на Земле раньше пучка частиц на 4 с.