Номер 1062, страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1062. На всю поверхность собирающей линзы, имеющей диаметр $D$ и фокусное расстояние $F$, направлен пучок лучей, параллельных главной оптической оси. На каком расстоя- нии $L$ от линзы надо поставить экран, чтобы на нём получил- ся светлый круг диаметром $d$?

Дано

Диаметр собирающей линзы: $D$
Фокусное расстояние линзы: $F$
Диаметр светлого круга на экране: $d$

Найти:

Расстояние от линзы до экрана: $L$

Решение

Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после прохождения через собирающую линзу сходится в ее главном фокусе. Главный фокус расположен на расстоянии $F$ от оптического центра линзы. Если бы экран находился в фокальной плоскости (т.е. на расстоянии $L=F$ от линзы), то диаметр светлого пятна был бы равен нулю (в приближении геометрической оптики).

Поскольку на экране образуется светлый круг конечного диаметра $d$, это означает, что экран не находится в фокальной плоскости. Для анализа хода лучей воспользуемся методом подобных треугольников.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый (большой) треугольник образуется крайними лучами пучка, сходящимися в фокусе. Его катеты равны фокусному расстоянию $F$ и радиусу линзы $D/2$. Второй (малый) треугольник подобен первому, и его катеты равны расстоянию от экрана до фокальной плоскости $|L-F|$ и радиусу светлого круга на экране $d/2$.

Из подобия треугольников следует пропорция их катетов:

$\frac{d/2}{D/2} = \frac{|L - F|}{F}$

Упрощая это выражение, получаем:

$\frac{d}{D} = \frac{|L - F|}{F}$

Отсюда можно выразить расстояние от экрана до фокуса:

$|L - F| = F \frac{d}{D}$

Это уравнение с модулем имеет два решения, так как экран может быть расположен как до фокуса, так и после него относительно линзы.

1. Экран находится между линзой и фокусом ($L < F$). В этом случае $|L - F| = F - L$. Подставляем в уравнение:

$F - L = F \frac{d}{D}$

Выражаем $L$:

$L_1 = F - F \frac{d}{D} = F \left(1 - \frac{d}{D}\right)$

2. Экран находится за фокусом ($L > F$). В этом случае $|L - F| = L - F$. Подставляем в уравнение:

$L - F = F \frac{d}{D}$

Выражаем $L$:

$L_2 = F + F \frac{d}{D} = F \left(1 + \frac{d}{D}\right)$

Следовательно, существуют два возможных положения экрана, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $L = F \left(1 \pm \frac{d}{D}\right)$, то есть существуют два возможных расстояния: $L_1 = F \left(1 - \frac{d}{D}\right)$ и $L_2 = F \left(1 + \frac{d}{D}\right)$.