Номер 1060, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1060. Из стекла требуется изготовить двояковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 10 см. Каковы должны быть радиусы кривизны поверхностей линзы, если известно, что один из них в 1,5 раза больше другого?

Дано:

Тип линзы: двояковыпуклая
Фокусное расстояние, $F = 10 \text{ см}$
Материал линзы: стекло (показатель преломления принимаем $n = 1.5$)
Соотношение радиусов кривизны: $R_2 = 1.5 R_1$

$F = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$R_1, R_2$

Решение:

Для определения радиусов кривизны линзы воспользуемся формулой тонкой линзы (также известной как формула шлифовщиков линз):

$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

Здесь $F$ — фокусное расстояние линзы, $n$ — показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды (в данном случае воздуха, показатель преломления которого близок к 1), $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы. Для двояковыпуклой линзы, находящейся в воздухе, оба радиуса в этой форме записи считаются положительными.

Подставим в формулу заданное в условии соотношение $R_2 = 1.5 R_1$:

$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{1.5 R_1} \right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{R_1}$ за скобки:

$\frac{1}{F} = (n - 1) \frac{1}{R_1} \left( 1 + \frac{1}{1.5} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$1 + \frac{1}{1.5} = 1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь уравнение примет вид:

$\frac{1}{F} = (n - 1) \frac{1}{R_1} \cdot \frac{5}{3}$

Из этого уравнения выразим радиус $R_1$:

$R_1 = F \cdot (n - 1) \cdot \frac{5}{3}$

Подставим числовые значения. Показатель преломления для стекла примем равным $n = 1.5$.

$R_1 = 10 \text{ см} \cdot (1.5 - 1) \cdot \frac{5}{3} = 10 \cdot 0.5 \cdot \frac{5}{3} = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3} \text{ см} \approx 8.33 \text{ см}$

Теперь найдем второй радиус $R_2$, используя соотношение из условия:

$R_2 = 1.5 \cdot R_1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{3} \text{ см} = \frac{25}{2} \text{ см} = 12.5 \text{ см}$

Таким образом, чтобы получить двояковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 10 см, радиусы кривизны ее поверхностей должны быть приблизительно 8.33 см и 12.5 см.

Ответ: радиусы кривизны поверхностей линзы должны быть равны $R_1 \approx 8.33 \text{ см}$ и $R_2 = 12.5 \text{ см}$.