Номер 1059, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1059*. Луч падает перпендикулярно на боковую грань прямой стеклянной призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине 20°. На сколько градусов отклонится луч при выходе из призмы от своего первоначального направления, если он внутри призмы падает:

a) на вторую боковую грань;

б) на основание?

Дано:

Призма прямая, стеклянная.
В основании призмы — равнобедренный треугольник.
Угол при вершине треугольника, $\phi = 20°$.
Луч света падает перпендикулярно на боковую грань.
Показатель преломления стекла $n$ не задан.

Найти:

$\delta_a$ — угол отклонения луча, если он падает на вторую боковую грань.
$\delta_b$ — угол отклонения луча, если он падает на основание.

Решение:

Сначала определим углы в основании призмы, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Угол при вершине равен $\phi = 20°$. Два других угла (углы при основании) равны между собой. Обозначим их $\theta$.
$\phi + 2\theta = 180°$
$20° + 2\theta = 180°$
$2\theta = 160°$
$\theta = 80°$
Таким образом, углы треугольника в основании призмы равны $20°, 80°, 80°$.

По условию, луч света падает перпендикулярно на одну из боковых граней призмы. При падении перпендикулярно границе раздела двух сред угол падения равен $0°$. Согласно закону преломления света, угол преломления также будет равен $0°$. Это означает, что луч входит в призму, не изменяя своего направления.

а) луч падает на вторую боковую грань

Пусть луч вошел перпендикулярно в боковую грань $AB$ и внутри призмы попал на вторую боковую грань $AC$. Угол между гранями $AB$ и $AC$ — это угол при вершине треугольника $\phi = 20°$.

Поскольку луч внутри призмы перпендикулярен грани $AB$, а нормаль к грани $AC$ перпендикулярна самой грани $AC$, угол между лучом и нормалью к грани $AC$ (то есть угол падения $\alpha_2$) будет равен углу между гранями $AB$ и $AC$.

$\alpha_2 = \phi = 20°$

Чтобы луч вышел из призмы, угол падения $\alpha_2$ должен быть меньше предельного угла полного внутреннего отражения $\alpha_{crit}$, который определяется как $\sin \alpha_{crit} = 1/n$. Для большинства сортов стекла $n \approx 1.5$, что дает $\alpha_{crit} \approx 42°$. Так как $20° < 42°$, луч преломляется и выходит из призмы в воздух.

Угол преломления $\beta_2$ находится по закону Снеллиуса: $n \sin \alpha_2 = n_{air} \sin \beta_2$. Принимая $n_{air} = 1$, получаем:

$n \sin 20° = \sin \beta_2$

Угол отклонения луча $\delta_a$ — это угол между его первоначальным и конечным направлениями. Так как на первой грани отклонения не было, он равен отклонению на второй грани.

$\delta_a = \beta_2 - \alpha_2 = \arcsin(n \sin 20°) - 20°$

Поскольку показатель преломления стекла $n$ в условии задачи не указан, дать однозначный численный ответ невозможно. Угол отклонения зависит от материала призмы. Например, для стекла с $n=1.5$:

$\sin \beta_2 = 1.5 \cdot \sin 20° \approx 1.5 \cdot 0.342 = 0.513$
$\beta_2 = \arcsin(0.513) \approx 30.9°$
$\delta_a \approx 30.9° - 20° = 10.9°$

Ответ: Угол отклонения зависит от показателя преломления стекла $n$ и вычисляется по формуле $\delta_a = \arcsin(n \sin 20°) - 20°$.

б) луч падает на основание

Пусть луч вошел перпендикулярно в боковую грань $AB$ и внутри призмы попал на грань основания $BC$. Угол между гранью $AB$ и основанием $BC$ — это угол при основании треугольника, равный $\theta = 80°$.

Рассмотрим треугольник, образованный лучом внутри призмы, гранью $AB$ и гранью $BC$. Этот треугольник прямоугольный, так как луч перпендикулярен $AB$. Один из его острых углов равен $80°$. Следовательно, третий угол, который является углом между лучом и гранью $BC$, равен $180° - 90° - 80° = 10°$.

Угол падения на основание $\alpha_3$ — это угол между лучом и нормалью к основанию $BC$. Он равен:

$\alpha_3 = 90° - 10° = 80°$

Проверим условие полного внутреннего отражения (ПВО). Предельный угол ПВО $\alpha_{crit} = \arcsin(1/n)$. Поскольку для любого стекла $n > 1$, то $\alpha_{crit} < 90°$. Для типичного стекла ($n \approx 1.5$) $\alpha_{crit} \approx 42°$. Так как $\alpha_3 = 80° > \alpha_{crit}$, на основании призмы произойдет полное внутреннее отражение. Луч не выйдет из призмы через основание.

Угол отражения равен углу падения. Отраженный луч также составит угол $10°$ с гранью $BC$. Этот отраженный луч направится к третьей грани призмы — второй боковой грани $AC$.

Рассмотрим треугольник, образованный отраженным лучом, основанием $BC$ и гранью $AC$. Угол при вершине $C$ равен $\theta = 80°$. Угол между отраженным лучом и основанием $BC$ равен $10°$. Тогда третий угол этого треугольника, который является углом между отраженным лучом и гранью $AC$, равен:

$180° - 80° - 10° = 90°$

Это означает, что луч падает на грань $AC$ перпендикулярно. Следовательно, он выходит из призмы через грань $AC$, не преломляясь.

Таким образом, полное отклонение луча $\delta_b$ определяется как угол между его начальным и конечным направлениями. Начальное направление было перпендикулярно грани $AB$. Конечное направление перпендикулярно грани $AC$. Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. Следовательно, угол отклонения равен углу между гранями $AB$ и $AC$.

$\delta_b = \phi = 20°$

Ответ: $20°$.