Номер 1067, страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1067. Выразить линейное увеличение $\Gamma$ в зависимости от фокусного расстояния линзы $\text{F}$ и расстояния предмета от линзы $d$.

Дано:

$F$ - фокусное расстояние линзы
$d$ - расстояние от предмета до линзы

Найти:

$\Gamma(F, d)$ - линейное увеличение

Решение:

Для нахождения зависимости линейного увеличения $\Gamma$ от фокусного расстояния $F$ и расстояния до предмета $d$ воспользуемся формулой тонкой линзы и определением линейного увеличения.

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$:

$ \displaystyle \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Линейное увеличение $\Gamma$ по определению равно:

$ \displaystyle \Gamma = -\frac{f}{d} $

Знак «минус» в данной (наиболее распространенной) системе знаков указывает на то, что действительные изображения являются перевернутыми. Из этой формулы можно выразить отношение $\frac{d}{f}$:

$ \displaystyle \frac{d}{f} = -\frac{1}{\Gamma} $

Теперь преобразуем формулу тонкой линзы. Умножим все ее члены на $d$:

$ \displaystyle d \cdot \left(\frac{1}{d} + \frac{1}{f}\right) = d \cdot \frac{1}{F} $

После раскрытия скобок получаем:

$ \displaystyle 1 + \frac{d}{f} = \frac{d}{F} $

Подставим в полученное выражение ранее найденное соотношение $ \displaystyle \frac{d}{f} = -\frac{1}{\Gamma} $:

$ \displaystyle 1 - \frac{1}{\Gamma} = \frac{d}{F} $

Теперь из этого уравнения выразим искомое увеличение $\Gamma$. Сначала выразим $ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} $:

$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} = 1 - \frac{d}{F} $

Приведем правую часть к общему знаменателю $F$:

$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} = \frac{F - d}{F} $

Наконец, "перевернув" дробь, получаем окончательную формулу для линейного увеличения в зависимости от $F$ и $d$:

$ \displaystyle \Gamma = \frac{F}{F - d} $

Ответ: $\displaystyle \Gamma = \frac{F}{F - d}$