Номер 1072, страница 142 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1072. Предмет находится перед рассеивающей линзой на расстоянии $mF$ (где $F$ — её фокусное расстояние). На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение и во сколько раз оно будет меньше самого предмета?

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Расстояние от предмета до линзы: $d = mF$
Модуль фокусного расстояния линзы: $F$

Найти:

1. Расстояние от линзы до изображения: $|f|$
2. Во сколько раз изображение меньше предмета: $k$

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{линзы}} $$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, и $F_{линзы}$ — фокусное расстояние линзы. Согласно принятому правилу знаков, расстояние до действительного предмета $d$ положительно ($d = mF$), а фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно ($F_{линзы} = -F$). Расстояние до мнимого изображения $f$ также должно получиться отрицательным.

На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение

Подставим известные значения в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{mF} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} $$ Выразим из этого уравнения величину $\frac{1}{f}$: $$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{mF} $$ Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $mF$: $$ \frac{1}{f} = -\left( \frac{m}{mF} + \frac{1}{mF} \right) = -\frac{m+1}{mF} $$ Отсюда находим координату изображения $f$: $$ f = -\frac{mF}{m+1} $$ Знак "минус" подтверждает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет. Расстояние от линзы до изображения — это модуль этой величины: $$ |f| = \frac{mF}{m+1} $$

Ответ: мнимое изображение получится на расстоянии $\frac{mF}{m+1}$ от линзы.

во сколько раз оно будет меньше самого предмета

Уменьшение изображения — это величина $k$, обратная модулю линейного увеличения $\Gamma$. Линейное увеличение определяется формулой: $$ \Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d} $$ где $h$ — размер изображения, а $H$ — размер предмета. Вопрос "во сколько раз изображение меньше предмета" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{H}{|h|} = \frac{1}{|\Gamma|}$.

Подставим найденные значения для $d$ и $f$ в формулу для увеличения: $$ \Gamma = \frac{f}{d} = \frac{-\frac{mF}{m+1}}{mF} = -\frac{mF}{m+1} \cdot \frac{1}{mF} = -\frac{1}{m+1} $$ Модуль линейного увеличения равен: $$ |\Gamma| = \frac{1}{m+1} $$ Следовательно, изображение будет меньше предмета в $k$ раз: $$ k = \frac{1}{|\Gamma|} = m+1 $$

Ответ: изображение будет меньше самого предмета в $m+1$ раз.