Номер 1050, страница 139 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1050. Луч света падает под углом 60° на стеклянную пластину толщиной 2 см с параллельными гранями. Определить смещение луча, вышедшего из пластины.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha = 60^\circ$

Толщина стеклянной пластины, $d = 2$ см

Показатель преломления воздуха (среда, из которой падает луч), $n_1 \approx 1$

Показатель преломления стекла (стандартное значение для обычного стекла), $n_2 = 1.5$

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Смещение луча, вышедшего из пластины, $x$.

Решение:

Когда луч света проходит через плоскопараллельную пластину, он дважды преломляется: на входе в пластину и на выходе из нее. Вышедший из пластины луч будет параллелен падающему лучу, но смещен относительно его первоначального направления.

1. Найдем угол преломления $\beta$ на границе воздух-стекло, используя закон Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Отсюда выразим синус угла преломления:

$\sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$\sin \beta = \frac{1}{1.5} \sin 60^\circ = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$

2. Смещение $x$ вышедшего луча можно определить из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный путем луча внутри пластины (гипотенуза $L$), толщиной пластины $d$ и смещением луча $x$. Смещение $x$ можно выразить через толщину пластины $d$ и углы $\alpha$ и $\beta$ по формуле:

$x = d \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$

Для использования этой формулы нам нужно найти $\cos \beta$ и $\sin(\alpha - \beta)$.

Найдем косинус угла преломления:

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165$

Можно также воспользоваться альтернативной формулой, чтобы избежать нахождения самого угла $\beta$:

$x = d \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_2^2 - n_1^2 \sin^2 \alpha}} \right)$

Подставим числовые значения в эту формулу (для удобства используем $d$ в сантиметрах, чтобы получить ответ в сантиметрах):

$x = 2 \cdot \sin 60^\circ \left( 1 - \frac{\cos 60^\circ}{\sqrt{1.5^2 - 1^2 \cdot (\sin 60^\circ)^2}} \right)$

$x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \frac{1/2}{\sqrt{2.25 - (\sqrt{3}/2)^2}} \right)$

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{0.5}{\sqrt{2.25 - 0.75}} \right)$

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{0.5}{\sqrt{1.5}} \right)$

Выполним вычисления:

$\sqrt{3} \approx 1.732$

$\sqrt{1.5} \approx 1.225$

$x \approx 1.732 \left( 1 - \frac{0.5}{1.225} \right) \approx 1.732 \left( 1 - 0.408 \right)$

$x \approx 1.732 \cdot 0.592 \approx 1.025 \text{ см}$

Для более точного аналитического решения:

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{2\sqrt{1.5}} \right) = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{6}} \right) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x \approx 1.732 - \frac{1.414}{2} = 1.732 - 0.707 = 1.025 \text{ см}$

Ответ: смещение луча составляет приблизительно $1.03$ см.