Номер 1047, страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1047. Мальчик старается попасть палкой в предмет, находящийся на дне ручья глубиной 40 см. На каком расстоянии от предмета палка попадёт в дно ручья, если мальчик, точно прицелившись, двигает палку под углом $45^\circ$ к поверхности воды?

Дано:

Глубина ручья: $h = 40 \text{ см}$
Угол, под которым мальчик двигает палку к поверхности воды: $\phi = 45^\circ$
Показатель преломления воды: $n_2 = 1.33$
Показатель преломления воздуха: $n_1 = 1$

$h = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$x$ — расстояние от предмета до места попадания палки.

Решение:

Данная задача описывает оптическое явление преломления света на границе двух сред: воды и воздуха. Мальчик видит предмет не в его истинном положении, а в кажущемся (мнимом), которое формируется из-за преломления световых лучей, идущих от предмета к глазу наблюдателя. Он целится палкой вдоль линии видимости, то есть вдоль преломленного луча. Однако палка, в отличие от света, не преломляется и движется в воде по прямой.

Угол, под которым мальчик направляет палку к поверхности воды, составляет $45^\circ$. В оптике расчеты ведутся с использованием углов по отношению к нормали (перпендикуляру к поверхности). Угол преломления $\beta$ (угол между преломленным лучом в воздухе и нормалью) будет равен:
$\beta = 90^\circ - \phi = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Для нахождения угла падения луча в воде $\alpha$ (угол между лучом и нормалью под водой) воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):
$n_2 \sin\alpha = n_1 \sin\beta$

Выразим и найдем синус угла падения $\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{n_1 \sin\beta}{n_2} = \frac{1 \cdot \sin(45^\circ)}{1.33} \approx \frac{0.7071}{1.33} \approx 0.5317$

Теперь рассмотрим геометрию. Пусть палка входит в воду в некоторой точке на поверхности. Горизонтальное смещение точки, в которую палка попадет в дно, относительно точки входа в воду, равно $L_1$. Из прямоугольного треугольника с катетом $h$ и противолежащим углом $\beta$ получаем:
$\tan\beta = \frac{L_1}{h} \Rightarrow L_1 = h \cdot \tan\beta$

Горизонтальное смещение реального положения предмета относительно точки выхода луча света из воды равно $L_2$. Из прямоугольного треугольника с катетом $h$ и противолежащим углом $\alpha$ получаем:
$\tan\alpha = \frac{L_2}{h} \Rightarrow L_2 = h \cdot \tan\alpha$

Искомое расстояние $x$ (расстояние между предметом и местом удара палки) равно разности этих горизонтальных смещений:
$x = L_1 - L_2 = h \cdot \tan\beta - h \cdot \tan\alpha = h(\tan\beta - \tan\alpha)$

Найдем тангенс угла $\alpha$. Зная синус, найдем косинус через основное тригонометрическое тождество:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0.5317)^2} = \sqrt{1 - 0.2827} = \sqrt{0.7173} \approx 0.8469$
Теперь найдем тангенс:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \frac{0.5317}{0.8469} \approx 0.6278$

Тангенс угла $\beta$ равен:
$\tan\beta = \tan(45^\circ) = 1$

Подставим все значения в формулу для $x$:
$x = 0.4 \text{ м} \cdot (1 - 0.6278) = 0.4 \text{ м} \cdot 0.3722 \approx 0.14888 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры и округлим:
$x \approx 14.9 \text{ см}$

Ответ: палка попадёт в дно ручья на расстоянии примерно 14.9 см от предмета.