Номер 1042, страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1042. Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?

Дано:

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)
$n_2 = 1.5$ (показатель преломления стекла)
$\beta = \frac{\alpha}{2}$ (где $\alpha$ – угол падения, а $\beta$ – угол преломления).

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Для решения задачи используется закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$ Согласно условию задачи, угол преломления $\beta$ в два раза меньше угла падения $\alpha$, что можно записать как $\beta = \frac{\alpha}{2}$. Подставим это соотношение в закон Снеллиуса: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin \alpha = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. $n_1 \cdot 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ Если угол падения не равен нулю ($\alpha \neq 0$), то и $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$: $2 n_1 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2$ Отсюда выражаем $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$: $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{n_2}{2n_1}$ Подставим числовые значения показателей преломления: $n_1 = 1$ для воздуха и $n_2 = 1.5$ для стекла. $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1.5}{2 \cdot 1} = 0.75$ Найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$, взяв арккосинус от полученного значения: $\frac{\alpha}{2} = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ$ Следовательно, искомый угол падения $\alpha$ равен: $\alpha = 2 \cdot \arccos(0.75) \approx 2 \cdot 41.41^\circ \approx 82.82^\circ$

Ответ: угол падения должен быть равен примерно $82.8^\circ$.