Номер 1043, страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1043. Под каким углом должен упасть луч на стекло, чтобы преломлённый луч оказался перпендикулярным к отражённому?

Дано:

Луч света падает из первой среды (воздух) во вторую (стекло).
Показатель преломления воздуха: $n_1 \approx 1$.
Показатель преломления стекла: $n_2 \approx 1.5$ (стандартное значение, так как в условии не указано иное).
Условие: преломленный луч перпендикулярен отраженному лучу.

Найти:

Угол падения $\alpha$.

Решение:

При падении луча света на границу раздела двух сред происходит его отражение и преломление. Обозначим угол падения как $\alpha$, угол отражения как $\alpha'$, и угол преломления как $\beta$. Все углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра), восстановленной в точке падения луча к границе раздела сред.

Согласно закону отражения света, угол отражения равен углу падения:
$\alpha' = \alpha$

По условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. Это значит, что угол между ними составляет $90^\circ$. Так как отраженный и преломленный лучи лежат по разные стороны от нормали, то сумма угла отражения и угла преломления составляет $90^\circ$.
$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Учитывая, что $\alpha' = \alpha$, мы можем переписать это соотношение как:
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Из этого выражения найдем угол преломления:
$\beta = 90^\circ - \alpha$

Далее воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Подставим в это уравнение выражение для угла $\beta$:
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin(90^\circ - \alpha)$

Применим тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$:
$n_1 \sin\alpha = n_2 \cos\alpha$

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ и на $n_1$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{n_2}{n_1}$
Поскольку $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:
$\tan\alpha = \frac{n_2}{n_1}$

Это выражение известно как закон Брюстера, а угол $\alpha$ — угол Брюстера. Теперь мы можем подставить числовые значения и вычислить искомый угол.
$\tan\alpha = \frac{1.5}{1} = 1.5$

Угол падения $\alpha$ найдем, взяв арктангенс от этого значения:
$\alpha = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$

Ответ: луч должен упасть на стекло под углом, тангенс которого равен относительному показателю преломления стекла (в данном случае, просто показателю преломления стекла, так как луч идет из воздуха). Этот угол называется углом Брюстера и для стекла с показателем преломления $1.5$ он составляет примерно $56.3^\circ$.