Номер 954, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 954, страница 127.

Условие.

954. При каком значении напряжения на конденсаторе колебательного контура (в долях амплитудного значения $ \frac{u}{U_m} $) и через какое время (в долях периода $ \frac{t}{T} $) энергия электрического поля впервые будет в 3 раза больше энергии магнитного поля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$W_Э = 3 W_М$

Найти:

1. $\frac{u}{U_m}$ - ?

2. $\frac{t}{T}$ - ?

Решение:

При каком значении напряжения на конденсаторе колебательного контура (в долях амплитудного значения $\frac{u}{U_m}$)

Полная энергия $W_{полн}$ в идеальном колебательном контуре сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_Э$ и энергии магнитного поля катушки $W_М$:

$W_{полн} = W_Э + W_М$

Энергия электрического поля конденсатора определяется его емкостью $C$ и мгновенным напряжением $u$: $W_Э = \frac{C u^2}{2}$. Полная энергия контура равна максимальному значению энергии электрического поля: $W_{полн} = W_{Э,макс} = \frac{C U_m^2}{2}$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения.

Используя условие задачи $W_Э = 3 W_М$, выразим полную энергию через энергию электрического поля. Из условия следует, что $W_М = \frac{W_Э}{3}$. Подставим это в закон сохранения энергии:

$W_{полн} = W_Э + \frac{W_Э}{3} = \frac{4}{3} W_Э$

Теперь приравняем два выражения для полной энергии:

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{C u^2}{2}$

Сократив общие множители, получим:

$U_m^2 = \frac{4}{3} u^2$

Выразим отношение квадратов напряжений:

$\frac{u^2}{U_m^2} = \frac{3}{4}$

Извлекая квадратный корень, находим искомое отношение (значение напряжения, поэтому берем положительный корень):

$\frac{u}{U_m} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{u}{U_m} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

и через какое время (в долях периода $\frac{t}{T}$) энергия электрического поля впервые будет в 3 раза больше энергии магнитного поля?

Изменение напряжения на конденсаторе в процессе свободных колебаний происходит по гармоническому закону. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ конденсатор был полностью заряжен, то есть напряжение на нем было максимальным ($u=U_m$). В этом случае зависимость напряжения от времени описывается функцией косинуса:

$u(t) = U_m \cos(\omega t)$

где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — циклическая частота колебаний, а $T$ — их период.

Мы уже выяснили, что условие $W_Э = 3 W_М$ выполняется, когда мгновенное напряжение составляет $u = U_m \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение для напряжения:

$U_m \frac{\sqrt{3}}{2} = U_m \cos(\omega t)$

Отсюда получаем:

$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам необходимо найти, когда это условие выполнится впервые, то есть найти наименьшее положительное значение времени $t$. Это соответствует наименьшей положительной фазе $\omega t$, для которой косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из тригонометрии известно, что это значение равно $\frac{\pi}{6}$.

$\omega t = \frac{\pi}{6}$

Заменим циклическую частоту ее выражением через период:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{t}{T}$:

$\frac{t}{T} = \frac{\pi/6}{2\pi} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{t}{T} = \frac{1}{12}$.