Номер 952, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 952, страница 127.

Условие.

952. Через какое время (в долях периода $ \frac{t}{T} $) на конденсаторе колебательного контура впервые будет заряд, равный половине амплитудного значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Заряд на конденсаторе: $q = \frac{1}{2} q_{max}$, где $q_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение заряда.

Найти:

$\frac{t}{T}$ — время, выраженное в долях периода.

Решение:

Колебания заряда на конденсаторе в идеальном колебательном контуре описываются гармоническим законом. Если в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе был максимальным ($q=q_{max}$), то зависимость заряда от времени имеет вид:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

где $q_{max}$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Согласно условию задачи, нужно найти момент времени $t$, когда заряд на конденсаторе впервые станет равен половине амплитудного значения:

$q(t) = \frac{1}{2} q_{max}$

Подставим это условие в уравнение колебаний:

$\frac{1}{2} q_{max} = q_{max} \cos(\omega t)$

Сократив $q_{max}$, получим:

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Мы ищем первый момент времени, когда это произойдет, поэтому нам нужно найти наименьшее положительное значение аргумента, при котором его косинус равен $\frac{1}{2}$. Это значение равно $\frac{\pi}{3}$.

$\omega t = \frac{\pi}{3}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$

Теперь выразим искомую величину $\frac{t}{T}$:

$\frac{t}{T} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6}$

Таким образом, впервые заряд на конденсаторе станет равен половине амплитудного значения через время, равное $\frac{1}{6}$ периода.

Ответ: $\frac{t}{T} = \frac{1}{6}$.