Номер 943, страница 126 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 943, страница 126.

Условие.

943. При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увеличилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Увеличение напряжения: $\Delta U = 20$ В
Отношение конечной и начальной амплитуд силы тока: $\frac{I_{m2}}{I_{m1}} = 2$

Найти:

Начальное напряжение $U_{m1}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности.

Полная энергия колебательного контура $W$ может быть выражена через амплитуду напряжения на конденсаторе $U_m$ или через амплитуду силы тока в катушке $I_m$: $W = \frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$ где $C$ — электроемкость конденсатора, а $L$ — индуктивность катушки.

Из этого равенства энергий следует, что амплитуды напряжения и силы тока связаны соотношением: $C U_m^2 = L I_m^2$

Обозначим начальные параметры контура индексом 1, а конечные — индексом 2.
Для начального состояния: $C U_{m1}^2 = L I_{m1}^2$
Для конечного состояния: $C U_{m2}^2 = L I_{m2}^2$

Согласно условию задачи, конечное напряжение $U_{m2} = U_{m1} + \Delta U = U_{m1} + 20$, а конечная амплитуда тока $I_{m2} = 2 I_{m1}$.

Подставим эти выражения в уравнение для конечного состояния: $C (U_{m1} + 20)^2 = L (2 I_{m1})^2$ $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 L I_{m1}^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $C U_{m1}^2 = L I_{m1}^2$
2) $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 L I_{m1}^2$

Подставим выражение для $L I_{m1}^2$ из первого уравнения во второе: $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 (C U_{m1}^2)$

Сократим на емкость $C$ (она не равна нулю): $(U_{m1} + 20)^2 = 4 U_{m1}^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку амплитуда напряжения $U_{m1}$ является положительной величиной, мы берем положительные значения корней: $U_{m1} + 20 = \sqrt{4 U_{m1}^2}$ $U_{m1} + 20 = 2 U_{m1}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $U_{m1}$: $20 = 2 U_{m1} - U_{m1}$ $U_{m1} = 20$ В

Ответ: начальное напряжение равно 20 В.