Номер 889, страница 117 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

889. Построить график зависимости $i(t)$ и определить массу цинка, выделенного на катоде при электролизе водного раствора $ZnSO_4$ за 90 с, если сила тока в цепи за это время равномерно возрастала от 0 до 3 А.

Дано:

Найти:

Решение:

Решим задачу в двух частях, в соответствии с вопросом.

1. Построить график зависимости i(t)

Так как по условию сила тока $i$ возрастает равномерно со временем $t$, зависимость $i(t)$ является линейной. Общий вид уравнения для линейной функции: $i(t) = kt + b$, где $k$ – угловой коэффициент (скорость изменения тока), а $b$ – начальное значение тока.

В начальный момент времени $t = 0$ сила тока равна $i(0) = 0 \text{ А}$. Подставив эти значения в уравнение, найдем $b$: $0 = k \cdot 0 + b \implies b = 0$. Таким образом, уравнение упрощается до $i(t) = kt$.

В конечный момент времени $t = 90 \text{ с}$ сила тока достигает значения $i(90) = 3 \text{ А}$. Подставим эти данные, чтобы найти коэффициент $k$: $3 \text{ А} = k \cdot 90 \text{ с}$ $k = \frac{3}{90} \frac{\text{А}}{\text{с}} = \frac{1}{30} \frac{\text{А}}{\text{с}}$.

Следовательно, искомое уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид: $i(t) = \frac{1}{30}t$.

Графиком данной функции является отрезок прямой линии, который начинается в начале координат (точка с координатами $(0; 0)$) и заканчивается в точке с координатами $(90; 3)$ на координатной плоскости $(t, i)$.

2. Определить массу цинка, выделенного на катоде

Массу вещества, выделившегося на электроде в процессе электролиза, определяют по объединенному закону Фарадея: $m = k_{э} \cdot q$, где $k_{э}$ – электрохимический эквивалент вещества, а $q$ – полный электрический заряд, прошедший через электролит.

Электрохимический эквивалент вычисляется по формуле: $k_{э} = \frac{M}{z \cdot F}$, где $M$ – молярная масса вещества, $z$ – число электронов, необходимых для восстановления одного иона, $F$ – постоянная Фарадея ($F \approx 96485 \text{ Кл/моль}$).

При электролизе водного раствора $ZnSO_4$ на катоде протекает реакция восстановления цинка: $Zn^{2+} + 2e^{-} \rightarrow Zn$. Из уравнения реакции следует, что для восстановления одного иона цинка требуется 2 электрона, то есть $z = 2$. Молярная масса цинка $M(Zn) \approx 65,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Поскольку сила тока в цепи не постоянна, для нахождения заряда $q$ нельзя использовать простую формулу $q = I \cdot t$. Заряд $q$ равен площади фигуры под графиком зависимости $i(t)$. Как было установлено в первой части, этот график – прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника (заряд) вычисляется как: $q = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot t_{общ} \cdot i_{max}$ $q = \frac{1}{2} \cdot 90 \text{ с} \cdot 3 \text{ А} = 135 \text{ Кл}$.

Теперь можно рассчитать массу выделившегося цинка, подставив все известные значения в закон Фарадея: $m_{Zn} = \frac{M}{z \cdot F} \cdot q$ $m_{Zn} = \frac{65,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 135 \text{ Кл} \approx 0,339 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \cdot 135 \text{ Кл} \approx 45,8 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$.

Переведем полученное значение в граммы: $45,8 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 0,0458 \text{ г}$. Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем $0,046 \text{ г}$.

Ответ:

1. Зависимость силы тока от времени описывается уравнением $i(t) = \frac{1}{30}t$ (для $t$ от $0$ до $90$ с). График этой зависимости – отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 0)$ и $(90; 3)$.

2. Масса цинка, выделившегося на катоде, составляет примерно $0,046 \text{ г}$.