Номер 885, страница 117 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

885. В электронно-лучевой трубке поток электронов ускоряется полем с разностью потенциалов $U = 5 \text{ кВ}$ и попадает в пространство между вертикально отклоняющими пластинами длиной $x = 5 \text{ см}$, напряжённость поля между которыми $E = 40 \text{ кВ/м}$. Найти вертикальное смещение $y$ луча на выходе из пространства между пластинами.

Дано:

Разность потенциалов ускоряющего поля $U = 5 \text{ кВ} = 5 \times 10^3 \text{ В}$
Длина отклоняющих пластин $x = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Напряжённость поля между пластинами $E = 40 \text{ кВ/м} = 40 \times 10^3 \text{ В/м}$
Заряд электрона $e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса электрона $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Вертикальное смещение $y$.

Решение:

Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения вдоль оси X (параллельно пластинам) и равноускоренного движения вдоль оси Y (перпендикулярно пластинам), так как начальная скорость электрона направлена вдоль оси X.

1. Сначала найдём скорость $v_x$, с которой электрон влетает в пространство между пластинами. Электрон ускоряется разностью потенциалов $U$. По закону сохранения энергии (или теореме о кинетической энергии), работа электрического поля идёт на увеличение кинетической энергии электрона: $eU = \frac{m_e v_x^2}{2}$ Из этой формулы выразим квадрат скорости $v_x^2$: $v_x^2 = \frac{2eU}{m_e}$

2. В пространстве между пластинами на электрон действует постоянная электрическая сила $F_y$ в вертикальном направлении (вдоль оси Y): $F_y = eE$ Согласно второму закону Ньютона, эта сила придаёт электрону ускорение $a_y$: $a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

3. Время полёта $t$ электрона между пластинами длиной $x$ определяется его постоянной горизонтальной скоростью $v_x$: $t = \frac{x}{v_x}$

4. За это время $t$ электрон смещается по вертикали на расстояние $y$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, смещение определяется формулой для равноускоренного движения: $y = \frac{a_y t^2}{2}$

5. Теперь объединим полученные формулы. Подставим выражения для $a_y$ и $t$ в формулу для $y$: $y = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) \left( \frac{x}{v_x} \right)^2 = \frac{eEx^2}{2m_e v_x^2}$

6. В это выражение подставим найденное ранее выражение для $v_x^2 = \frac{2eU}{m_e}$: $y = \frac{eEx^2}{2m_e \left( \frac{2eU}{m_e} \right)} = \frac{eEx^2}{4eU}$ Сократив заряд электрона $e$ и массу $m_e$, получаем итоговую расчётную формулу: $y = \frac{Ex^2}{4U}$

7. Подставим числовые значения в СИ в полученную формулу: $y = \frac{(40 \times 10^3 \text{ В/м}) \cdot (0.05 \text{ м})^2}{4 \cdot (5 \times 10^3 \text{ В})} = \frac{40 \times 10^3 \cdot 0.0025}{20 \times 10^3} = \frac{40 \cdot 0.0025}{20} = 2 \cdot 0.0025 = 0.005 \text{ м}$

Это значение можно перевести в миллиметры: $0.005 \text{ м} = 5 \text{ мм}$.

Ответ: вертикальное смещение луча $y$ равно $0.005 \text{ м}$ (или $5 \text{ мм}$).