Номер 884, страница 116 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

884. В электронно-лучевой трубке поток электронов с ки нетической энергией $W_к = 8$ кэВ движется между пластинами плоского конденсатора длиной $x' = 4$ см. Расстояние между пластинами $d = 2$ см. Какое напряжение надо подать на пластины конденсатора, чтобы смещение электронного пучка на выходе из конденсатора оказалось равным $y = 0,8$ см?

Дано:

Кинетическая энергия электронов, $W_к = 8 \text{ кэВ}$

Длина пластин конденсатора, $l = 4 \text{ см}$

Расстояние между пластинами, $d = 2 \text{ см}$

Смещение электронного пучка, $y = 0,8 \text{ см}$

Заряд электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$W_к = 8 \text{ кэВ} = 8 \cdot 10^3 \text{ эВ} = 8 \cdot 10^3 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.28 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$

$l = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$y = 0.8 \text{ см} = 0.008 \text{ м}$

Найти:

Напряжение на пластинах конденсатора, $U - ?$

Решение:

Движение электрона в пространстве между пластинами конденсатора можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль пластин (по оси OX) и равноускоренное движение перпендикулярно пластинам (по оси OY).

1. Движение вдоль оси OX.

Начальная скорость электрона $v_x$ направлена вдоль пластин. Электрическое поле конденсатора перпендикулярно этой скорости и не влияет на нее. Движение вдоль оси OX является равномерным. Кинетическая энергия электрона связана с его начальной скоростью формулой:

$W_к = \frac{m_e v_x^2}{2}$

Время, за которое электрон пролетает расстояние, равное длине пластин $l$, равно:

$t = \frac{l}{v_x}$

2. Движение вдоль оси OY.

На электрон в вертикальном направлении действует постоянная электрическая сила $F_y = eE$, где $E$ – напряженность электрического поля между пластинами. Эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

Напряженность однородного поля в плоском конденсаторе связана с напряжением $U$ и расстоянием между пластинами $d$ соотношением $E = \frac{U}{d}$. Тогда ускорение равно:

$a_y = \frac{eU}{m_e d}$

Поскольку начальная скорость в вертикальном направлении равна нулю ($v_{0y}=0$), вертикальное смещение $y$ за время $t$ описывается уравнением:

$y = \frac{a_y t^2}{2}$

3. Вывод расчетной формулы.

Подставим выражения для $a_y$ и $t$ в формулу для смещения $y$:

$y = \frac{1}{2} \left(\frac{eU}{m_e d}\right) \left(\frac{l}{v_x}\right)^2 = \frac{e U l^2}{2 m_e d v_x^2}$

Из формулы для кинетической энергии выразим $m_e v_x^2 = 2W_к$ и подставим в полученное выражение:

$y = \frac{e U l^2}{2 d (2 W_к)} = \frac{e U l^2}{4 d W_к}$

Из этой формулы выразим искомое напряжение $U$:

$U = \frac{4 y d W_к}{e l^2}$

4. Вычисления.

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу:

$U = \frac{4 \cdot 0.008 \text{ м} \cdot 0.02 \text{ м} \cdot 1.28 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot (0.04 \text{ м})^2}$

$U = \frac{4 \cdot 0.008 \cdot 0.02 \cdot 1.28 \cdot 10^{-15}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 0.0016} = \frac{8.192 \cdot 10^{-19}}{2.56 \cdot 10^{-22}} \text{ В} = 3.2 \cdot 10^3 \text{ В} = 3200 \text{ В}$

Альтернативный способ вычисления: можно заметить, что $W_к(\text{Дж}) = W_к(\text{эВ}) \cdot e$. Подставив это в формулу для $U$, получим:

$U = \frac{4 y d W_к(\text{эВ}) \cdot e}{e l^2} = \frac{4 y d W_к(\text{эВ})}{l^2}$

При этом $U$ получится в Вольтах, если $W_к(\text{эВ})$ подставить как числовое значение энергии в электрон-вольтах.

$U = \frac{4 \cdot 0.008 \text{ м} \cdot 0.02 \text{ м} \cdot 8000 \text{ эВ}}{(0.04 \text{ м})^2} = \frac{5.12}{0.0016} \text{ В} = 3200 \text{ В}$

Ответ: напряжение, которое надо подать на пластины конденсатора, равно $3200 \text{ В}$ или $3.2 \text{ кВ}$.