Номер 1088, страница 144 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1088. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ освещают экран $AB$, плоскость которого параллельна направлению $S_1S_2$ (рис. 121). Доказать, что на экране в точке $O$, лежащей на перпендикуляре, опущенном на экран из середины отрезка $S_1S_2$, соединяющего источники, будет максимум освещённости.

Дано:

Два когерентных источника света $S_1$ и $S_2$.
Экран $AB$, плоскость которого параллельна отрезку, соединяющему источники, то есть $AB \parallel S_1S_2$.
Точка $O$ на экране лежит на перпендикуляре, опущенном из середины отрезка $S_1S_2$ на экран.

Найти:

Доказать, что в точке $O$ будет максимум освещенности.

Решение:

Результат сложения двух когерентных волн (интерференции) в некоторой точке пространства определяется разностью хода волн, пришедших в эту точку от источников. Условие, при котором наблюдается максимум освещенности (конструктивная интерференция), задается формулой:
$\Delta d = k \lambda$
где $\Delta d$ — оптическая разность хода волн, $\lambda$ — длина волны, а $k$ — целое число ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть $d_1$ — это расстояние от источника $S_1$ до точки $O$ на экране, а $d_2$ — расстояние от источника $S_2$ до той же точки $O$. Тогда разность хода для точки $O$ равна $\Delta d = |d_2 - d_1|$.

Обозначим середину отрезка $S_1S_2$ как точку $M$. Согласно условию, точка $O$ находится на перпендикуляре, восстановленном из точки $M$ к плоскости экрана. Отрезок $MO$ является этим перпендикуляром. Поскольку плоскость экрана $AB$ параллельна прямой $S_1S_2$, то отрезок $MO$ также перпендикулярен и отрезку $S_1S_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle S_1MO$ и $\triangle S_2MO$. Оба треугольника являются прямоугольными, так как $\angle S_1MO = \angle S_2MO = 90^\circ$.

В этих треугольниках:
1. Катет $MO$ является общим.
2. Катеты $S_1M$ и $S_2M$ равны, поскольку $M$ — середина отрезка $S_1S_2$ ($S_1M = S_2M$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle S_1MO$ и $\triangle S_2MO$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз:
$S_1O = S_2O$
то есть, $d_1 = d_2$.

Теперь мы можем вычислить разность хода для точки $O$:
$\Delta d = d_2 - d_1 = 0$.

Полученное значение разности хода $\Delta d = 0$ удовлетворяет условию максимума интерференции $\Delta d = k \lambda$ при $k=0$. Этот максимум называется центральным или максимумом нулевого порядка.

Таким образом, в точке $O$ волны от источников $S_1$ и $S_2$ приходят в одинаковой фазе, усиливая друг друга, что и создает максимум освещенности.

Ответ: В точке $O$, лежащей на перпендикуляре к экрану, проведенном из середины отрезка $S_1S_2$, расстояния от источников до этой точки равны ($d_1 = d_2$). Следовательно, разность хода лучей равна нулю ($\Delta d = 0$), что соответствует условию главного интерференционного максимума ($k=0$). Поэтому в точке $O$ будет максимум освещенности.