Номер 1093, страница 145 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1093. В установке для наблюдения колец Ньютона используется плосковыпуклая линза с радиусом кривизны 8,6 м. При освещении установки монохроматическим светом, падающим нормально на плоскую поверхность линзы, радиус четвёртого тёмного кольца был равен 4,5 мм. Определить длину волны света, если наблюдение велось в отражённом свете.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение

Кольца Ньютона образуются в результате интерференции света в тонком воздушном зазоре между плосковыпуклой линзой и плоской стеклянной пластиной. При наблюдении интерференционной картины в отражённом свете возникает дополнительная разность хода в половину длины волны ($\lambda/2$) из-за отражения света от границы с оптически более плотной средой (от плоской пластины).

Условие образования тёмных интерференционных колец (минимумов) в отражённом свете имеет вид:

$\Delta = 2h_k = k\lambda$

где $h_k$ — толщина воздушного зазора, соответствующая $k$-му тёмному кольцу, $\lambda$ — длина волны света, $k$ — номер кольца ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

Толщину воздушного зазора $h_k$ можно связать с радиусом кривизны линзы $R$ и радиусом соответствующего кольца $r_k$. Из геометрии установки (рассматривая прямоугольный треугольник с катетами $r_k$ и $R-h_k$ и гипотенузой $R$) следует соотношение:

$R^2 = r_k^2 + (R-h_k)^2$

$R^2 = r_k^2 + R^2 - 2Rh_k + h_k^2$

Так как толщина зазора $h_k$ очень мала по сравнению с радиусом кривизны $R$, то членом $h_k^2$ можно пренебречь:

$r_k^2 \approx 2Rh_k$

Отсюда выразим толщину зазора:

$h_k = \frac{r_k^2}{2R}$

Теперь подставим это выражение для $h_k$ в условие минимума:

$2 \left( \frac{r_k^2}{2R} \right) = k\lambda$

$\frac{r_k^2}{R} = k\lambda$

Из этого соотношения выразим искомую длину волны света $\lambda$:

$\lambda = \frac{r_k^2}{kR}$

Подставим числовые значения для четвёртого тёмного кольца ($k=4$):

$\lambda = \frac{(4,5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4 \cdot 8,6 \text{ м}} = \frac{20,25 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{34,4 \text{ м}} \approx 0,58866 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Переводя в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$), получаем:

$\lambda \approx 588,66 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 589 \text{ нм}$

Ответ: длина волны света равна приблизительно $589$ нм.