Номер 1097, страница 145 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1097. В школе есть дифракционные решётки, имеющие 50 и 100 штрихов на 1 мм. Какая из них даст на экране более широкий спектр при прочих равных условиях?

Дано:

Число штрихов на 1 мм для первой решётки: $n_1 = 50 \text{ шт/мм}$
Число штрихов на 1 мм для второй решётки: $n_2 = 100 \text{ шт/мм}$

Перевод в систему СИ:

$n_1 = 50 \text{ мм}^{-1} = 50 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1}$
$n_2 = 100 \text{ мм}^{-1} = 100 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1}$

Найти:

Какая из дифракционных решёток даст на экране более широкий спектр?

Решение:

Условие максимумов дифракционной решётки определяется формулой: $d \sin\varphi = k \lambda$ где $d$ – период решётки (расстояние между соседними штрихами), $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум, $k$ – порядок максимума (целое число: 1, 2, 3, ...), а $\lambda$ – длина волны света.

Период решётки $d$ связан с числом штрихов $n$ на единицу длины соотношением: $d = \frac{1}{n}$

Вычислим периоды для обеих решёток:

Для первой решётки: $d_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{50 \text{ шт/мм}} = 0.02 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}$.

Для второй решётки: $d_2 = \frac{1}{n_2} = \frac{1}{100 \text{ шт/мм}} = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$.

Как видно, $d_2 < d_1$. Решётка с большим числом штрихов на миллиметр имеет меньший период.

Выразим синус угла дифракции из основной формулы: $\sin\varphi = \frac{k \lambda}{d}$

Из этой формулы следует, что при одинаковых значениях порядка максимума $k$ и длины волны $\lambda$, синус угла дифракции $\sin\varphi$ обратно пропорционален периоду решётки $d$. Чем меньше период решётки, тем больше будет угол дифракции $\varphi$ (для углов от 0° до 90°).

Ширина спектра определяется разностью углов дифракции для крайних длин волн видимого света – красного ($\lambda_к$) и фиолетового ($\lambda_ф$). Для спектра порядка $k$ ширина будет тем больше, чем больше разница углов $\Delta\varphi = \varphi_к - \varphi_ф$.

Поскольку для решётки с меньшим периодом $d$ углы отклонения лучей больше для всех длин волн, то и разница между углами для красного и фиолетового света также будет больше. Это означает, что спектр будет растянут сильнее, то есть будет более широким.

Следовательно, решётка с периодом $d_2 = 0.01 \text{ мм}$ (100 штрихов на 1 мм) даст более широкий спектр, чем решётка с периодом $d_1 = 0.02 \text{ мм}$ (50 штрихов на 1 мм).

Ответ: Более широкий спектр даст дифракционная решётка, имеющая 100 штрихов на 1 мм.