Номер 1102, страница 145 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1102¹. Для определения периода решётки на неё направили световой пучок через красный светофильтр, пропускающий лучи с длиной волны 0,76 мкм. Каков период решётки, если на экране, отстоящем от решётки на 1 м, расстояние между спектрами первого порядка равно 15,2 см?

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 0,76$ мкм

Расстояние от решётки до экрана, $L = 1$ м

Расстояние между спектрами первого порядка, $\Delta x = 15,2$ см

Порядок спектра, $k = 1$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 0,76 \times 10^{-6}$ м

$\Delta x = 0,152$ м

Найти:

Период решётки, $d$ - ?

Решение:

Формула дифракционной решётки, определяющая положение главных максимумов, имеет вид:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $d$ – период решётки, $\varphi$ – угол дифракции (угол отклонения лучей), $k$ – порядок спектра, $\lambda$ – длина волны света.

Из этой формулы выразим искомый период решётки $d$:

$d = \frac{k\lambda}{\sin\varphi}$

В условии задачи дано расстояние между двумя спектрами первого порядка ($\Delta x$). Это расстояние между максимумами для $k=+1$ и $k=-1$. Расстояние от центрального максимума (где $k=0$) до максимума первого порядка ($k=1$) будет равно половине этого расстояния:

$x = \frac{\Delta x}{2} = \frac{0,152 \text{ м}}{2} = 0,076 \text{ м}$

Угол дифракции $\varphi$ можно найти из геометрии установки. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от решётки до экрана $L$ и расстояние от центрального максимума до максимума первого порядка $x$. Тангенс угла $\varphi$ равен:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Для малых углов дифракции (что обычно выполняется в таких задачах, когда $x \ll L$) можно использовать приближение $\sin\varphi \approx \tan\varphi$.

Проверим: $\tan\varphi = \frac{0,076 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0,076$. Это значение мало, поэтому приближение справедливо.

Таким образом, $\sin\varphi \approx \frac{x}{L}$.

Подставим это выражение в формулу для периода решётки:

$d = \frac{k\lambda}{x/L} = \frac{k\lambda L}{x}$

Теперь подставим числовые значения всех величин:

$d = \frac{1 \cdot (0,76 \times 10^{-6} \text{ м}) \cdot 1 \text{ м}}{0,076 \text{ м}} = \frac{0,76}{0,076} \times 10^{-6} \text{ м} = 10 \times 10^{-6} \text{ м} = 10^{-5} \text{ м}$

Переведём результат в микрометры для наглядности: $10^{-5} \text{ м} = 10$ мкм.

Ответ: период решётки равен $10^{-5}$ м.