Номер 1103, страница 146 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1103. Какова ширина всего спектра первого порядка (длины волн заключены в пределах от 0,38 до 0,76 мкм), полученного на экране, отстоящем на 3 м от дифракционной решётки с периодом 0,01 мм?

Дано:

Порядок спектра, $k = 1$

Минимальная длина волны, $\lambda_{min} = 0,38$ мкм

Максимальная длина волны, $\lambda_{max} = 0,76$ мкм

Расстояние до экрана, $L = 3$ м

Период дифракционной решётки, $d = 0,01$ мм

Перевод в систему СИ:

$\lambda_{min} = 0,38 \cdot 10^{-6}$ м

$\lambda_{max} = 0,76 \cdot 10^{-6}$ м

$d = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1 \cdot 10^{-5}$ м

Найти:

Ширину спектра первого порядка, $\Delta x$

Решение:

Условие для максимумов дифракционной картины, наблюдаемой с помощью дифракционной решётки, определяется формулой:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $d$ — период решётки, $\varphi$ — угол дифракции, $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Положение максимума на экране $x$ связано с углом дифракции $\varphi$ и расстоянием до экрана $L$ соотношением:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Для малых углов дифракции, что обычно имеет место в таких задачах, можно принять $\sin\varphi \approx \tan\varphi$. Проверим это: максимальный угол будет для максимальной длины волны.

$\sin\varphi_{max} = \frac{k\lambda_{max}}{d} = \frac{1 \cdot 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = 0,076$

Так как значение синуса мало, приближение справедливо. Тогда можно записать:

$d \frac{x}{L} \approx k\lambda$

Отсюда выразим положение максимума на экране:

$x \approx \frac{kL\lambda}{d}$

Ширина спектра $\Delta x$ представляет собой разность между положениями максимумов для красного (максимальная длина волны) и фиолетового (минимальная длина волны) света:

$\Delta x = x_{max} - x_{min}$

Подставим выражения для $x_{max}$ и $x_{min}$:

$\Delta x = \frac{kL\lambda_{max}}{d} - \frac{kL\lambda_{min}}{d} = \frac{kL}{d}(\lambda_{max} - \lambda_{min})$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta x = \frac{1 \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} (0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м} - 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}) = 3 \cdot 10^5 \cdot (0,38 \cdot 10^{-6}) \text{ м}$

$\Delta x = 1,14 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,114 \text{ м}$

Переведём результат в сантиметры для удобства: $0,114 \text{ м} = 11,4 \text{ см}$.

Ответ: ширина всего спектра первого порядка равна $0,114$ м или $11,4$ см.