Номер 1101, страница 145 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1101. Линия с длиной волны $\lambda_1 = 426$ нм, полученная при помощи дифракционной решётки в спектре второго порядка, видна под углом $\varphi_1 = 4,9^\circ$. Найти, под каким углом $\varphi_2$ видна линия с длиной волны $\lambda_2 = 713$ нм в спектре первого порядка.

Дано:

Длина волны 1, $\lambda_1 = 426$ нм
Порядок спектра 1, $k_1 = 2$
Угол дифракции 1, $\phi_1 = 4,9^\circ$
Длина волны 2, $\lambda_2 = 713$ нм
Порядок спектра 2, $k_2 = 1$

Найти:

$\phi_2$ - ?

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов в спектре, полученном с помощью дифракционной решётки, задаётся формулой:

$d \sin\phi = k\lambda$

где $d$ — период дифракционной решётки, $\phi$ — угол, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок максимума (целое число), а $\lambda$ — длина волны света.

Так как оба спектра получены с помощью одной и той же решётки, её период $d$ является постоянной величиной.

Запишем формулу для первого случая (линия с длиной волны $\lambda_1$ в спектре второго порядка):

$d \sin\phi_1 = k_1\lambda_1$

И для второго случая (линия с длиной волны $\lambda_2$ в спектре первого порядка):

$d \sin\phi_2 = k_2\lambda_2$

Мы получили систему из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{d \sin\phi_2}{d \sin\phi_1} = \frac{k_2\lambda_2}{k_1\lambda_1}$

Период решётки $d$ сокращается:

$\frac{\sin\phi_2}{\sin\phi_1} = \frac{k_2\lambda_2}{k_1\lambda_1}$

Отсюда выразим $\sin\phi_2$:

$\sin\phi_2 = \sin\phi_1 \cdot \frac{k_2\lambda_2}{k_1\lambda_1}$

Подставим в формулу известные значения:

$\sin\phi_2 = \sin(4,9^\circ) \cdot \frac{1 \cdot 713 \text{ нм}}{2 \cdot 426 \text{ нм}}$

Единицы измерения длины волны (нм) сокращаются, что избавляет от необходимости переводить их в систему СИ, так как нас интересует их отношение.

$\sin\phi_2 \approx 0,0854 \cdot \frac{713}{852} \approx 0,0854 \cdot 0,83685 \approx 0,0715$

Теперь найдём угол $\phi_2$, вычислив арксинус полученного значения:

$\phi_2 = \arcsin(0,0715) \approx 4,1^\circ$

Ответ: линия с длиной волны $\lambda_2 = 713$ нм в спектре первого порядка видна под углом $\phi_2 \approx 4,1^\circ$.