Номер 1241, страница 163 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1241. Поглощая фотон $\gamma$-излучения ($\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м), дейтрон распадается на протон и нейтрон. Вычислить суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц.

Дано:

Длина волны поглощенного фотона $\gamma$-излучения $\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м.

Все данные представлены в системе СИ. Для решения также потребуются справочные значения физических констант:

Постоянная Планка: $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3,00 \cdot 10^8$ м/с

Масса протона: $m_p \approx 1,67262 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,67493 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса дейтрона (ядра дейтерия): $m_d \approx 3,34358 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

Суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц (протона и нейтрона) $K_{sum}$.

Решение:

Процесс распада дейтрона под действием $\gamma$-кванта, известный как фоторасщепление, описывается следующей ядерной реакцией:

$$ d + \gamma \rightarrow p + n $$

где $d$ - дейтрон (ядро атома дейтерия $^2_1H$), $\gamma$ - гамма-квант (фотон), $p$ - протон, $n$ - нейтрон.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции должна быть равна полной энергии системы после реакции. Будем считать, что дейтрон до поглощения фотона находился в состоянии покоя, то есть его начальная кинетическая энергия равна нулю. В этом случае закон сохранения энергии можно записать в виде:

$$ E_{\gamma} + m_d c^2 = m_p c^2 + m_n c^2 + K_{sum} $$

Здесь $E_{\gamma}$ - энергия поглощенного фотона, $m_d c^2$, $m_p c^2$, $m_n c^2$ - это энергии покоя дейтрона, протона и нейтрона соответственно, а $K_{sum} = K_p + K_n$ - искомая суммарная кинетическая энергия протона и нейтрона после распада.

Выразим $K_{sum}$ из этого уравнения:

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - (m_p c^2 + m_n c^2 - m_d c^2) $$

Выражение в скобках представляет собой энергию связи ядра дейтрона $E_{св}$. Энергия связи - это минимальная энергия, которую необходимо сообщить ядру, чтобы разделить его на составляющие его нуклоны.

$$ E_{св} = (m_p + m_n - m_d)c^2 = \Delta m \cdot c^2 $$

где $\Delta m$ - дефект масс. Таким образом, суммарная кинетическая энергия продуктов распада равна избытку энергии фотона над энергией связи дейтрона.

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - E_{св} $$

Для нахождения ответа выполним вычисления в три этапа.

1. Вычисление энергии фотона ($E_{\gamma}$)

Энергия фотона связана с его длиной волны формулой Планка:

$$ E_{\gamma} = \frac{hc}{\lambda} $$

Подставим числовые значения:

$$ E_{\gamma} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4,7 \cdot 10^{-13} \text{ м}} = \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{4,7 \cdot 10^{-13}} \text{ Дж} \approx 4,229 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

2. Вычисление энергии связи дейтрона ($E_{св}$)

Сначала найдем дефект масс $\Delta m$:

$$ \Delta m = m_p + m_n - m_d $$

$$ \Delta m = (1,67262 \cdot 10^{-27} + 1,67493 \cdot 10^{-27} - 3,34358 \cdot 10^{-27}) \text{ кг} = 0,00397 \cdot 10^{-27} \text{ кг} $$

Теперь найдем энергию связи, умножив дефект масс на квадрат скорости света:

$$ E_{св} = \Delta m c^2 = 0,00397 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 $$

$$ E_{св} = 0,00397 \cdot 10^{-27} \cdot 9,00 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 3,573 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

3. Вычисление суммарной кинетической энергии ($K_{sum}$)

Теперь мы можем найти искомую энергию как разность энергии фотона и энергии связи:

$$ K_{sum} = E_{\gamma} - E_{св} = 4,229 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} - 3,573 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 0,656 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($\lambda = 4,7 \cdot 10^{-13}$ м):

$$ K_{sum} \approx 0,66 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 6,6 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} $$

Ответ: $K_{sum} \approx 6,6 \cdot 10^{-14}$ Дж.