Номер 1243, страница 163 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1243. Элементарная частица пи-нуль-мезон ($ \pi^0 $) распадается на два $ \gamma $-кванта. Найти частоту $ \gamma $-излучения, если масса покоя этой частицы равна 264,3 массы электрона.

Дано:

Масса покоя пи-нуль-мезона: $m_{\pi^0} = 264.3 \cdot m_e$

Масса покоя электрона: $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Частоту $\gamma$-излучения: $\nu$

Решение:

Распад элементарной частицы пи-нуль-мезона ($\pi^0$) на два $\gamma$-кванта происходит по схеме:

$\pi^0 \rightarrow \gamma + \gamma$

При этом распаде действуют законы сохранения энергии и импульса. Так как пи-нуль-мезон по условию покоится, его начальный импульс равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс двух образовавшихся $\gamma$-квантов также должен быть равен нулю. Это возможно только в том случае, если они разлетаются в противоположных направлениях с равными по модулю импульсами. Равенство импульсов означает и равенство их энергий.

Таким образом, энергия каждого $\gamma$-кванта одинакова: $E_{\gamma1} = E_{\gamma2} = E_{\gamma}$.

Согласно закону сохранения энергии, энергия покоя пи-нуль-мезона $E_{\pi^0}$ переходит в суммарную энергию двух $\gamma$-квантов:

$E_{\pi^0} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2} = 2E_{\gamma}$

Энергия покоя пи-нуль-мезона вычисляется по формуле Эйнштейна:

$E_{\pi^0} = m_{\pi^0} c^2$

Энергия $\gamma$-кванта (фотона) связана с его частотой $\nu$ соотношением Планка:

$E_{\gamma} = h\nu$

Объединим эти формулы:

$m_{\pi^0} c^2 = 2h\nu$

Выразим отсюда искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{m_{\pi^0} c^2}{2h}$

Подставим в эту формулу заданное значение массы пи-нуль-мезона $m_{\pi^0} = 264.3 \cdot m_e$:

$\nu = \frac{264.3 \cdot m_e \cdot c^2}{2h}$

Теперь подставим числовые значения констант и выполним вычисления:

$\nu = \frac{264.3 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с})}$

$\nu = \frac{264.3 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{13.252 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц}$

$\nu = \frac{21669.957 \cdot 10^{-15}}{1.3252 \cdot 10^{-33}} \text{ Гц} = \frac{2.167 \cdot 10^{-11}}{1.3252 \cdot 10^{-33}} \text{ Гц}$

$\nu \approx 1.635 \cdot 10^{22} \text{ Гц}$

Ответ: частота $\gamma$-излучения равна $1.635 \cdot 10^{22}$ Гц.