Страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Докажите следующие три свойства прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.47).

1. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

2. Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его основанию.

3. Все двугранные углы – прямые.

Рис. 2.47

Для доказательства воспользуемся определением прямоугольного параллелепипеда и его свойствами. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

По определению прямоугольного параллелепипеда, его основание $ABCD$ — прямоугольник. Так как у параллелепипеда противолежащие грани равны и параллельны, то верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ также является прямоугольником.
Рассмотрим боковую грань, например, $ABB_1A_1$. По определению параллелепипеда, эта грань является параллелограммом.
По определению прямого параллелепипеда, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$.
Таким образом, угол $\angle A_1AB$ является прямым ($\angle A_1AB = 90^\circ$).
Параллелограмм $ABB_1A_1$, у которого один из углов прямой, является прямоугольником.
Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани ($BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$) являются прямоугольниками.
Следовательно, все шесть граней прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Ответ: Доказано, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

2. Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его основанию.

Это свойство следует непосредственно из определения. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, а у прямого параллелепипеда боковые ребра по определению перпендикулярны плоскостям оснований.
Докажем это свойство, исходя из того, что все грани являются прямоугольниками (свойство 1).
Рассмотрим боковое ребро $AA_1$.
Так как грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник, то $AA_1 \perp AB$.
Так как грань $ADD_1A_1$ — прямоугольник, то $AA_1 \perp AD$.
Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости основания $(ABC)$ и пересекаются в точке $A$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая ($AA_1$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AD$), лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, $AA_1 \perp (ABC)$.
Так как все боковые ребра параллелепипеда параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$), а прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то и все остальные боковые ребра также перпендикулярны плоскости основания.
Ответ: Доказано, что боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его основанию.

3. Все двугранные углы — прямые.

Двугранный угол — это угол между двумя смежными гранями. Его мерой является линейный угол, образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру.
Рассмотрим двугранный угол при ребре $AB$. Он образован гранями $ABCD$ (основание) и $ABB_1A_1$ (боковая грань). Ребро их пересечения — $AB$.
Из свойства 1 мы знаем, что грань $ABCD$ — прямоугольник, следовательно, $AD \perp AB$. Также грань $ADD_1A_1$ — прямоугольник, следовательно, $AA_1 \perp AD$. Но нам нужно другое.
Построим линейный угол. Грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником, поэтому $AD \perp AA_1$. Также $AD \perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Так как $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AA_1$ в плоскости $ABB_1A_1$, то $AD \perp (ABB_1A_1)$. Это неверно.
Вернемся к определению. Нам нужна плоскость, перпендикулярная ребру $AB$. Так как $AA_1 \perp AB$ (грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник) и $AD \perp AB$ (грань $ABCD$ — прямоугольник), а прямые $AA_1$ и $AD$ пересекаются, то плоскость $(ADD_1A_1)$ перпендикулярна ребру $AB$.
Линии пересечения этой плоскости с гранями двугранного угла — это $AA_1$ и $AD$. Угол между ними, $\angle D_1AD$, является линейным углом нашего двугранного угла.
Так как грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником, то $\angle D_1AD = 90^\circ$. Значит, двугранный угол при ребре $AB$ — прямой.
Рассмотрим двугранный угол при боковом ребре, например, $AA_1$. Он образован боковыми гранями $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$.
Из свойства 2 мы знаем, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это значит, что плоскость $(ABC)$ перпендикулярна ребру $AA_1$.
Линии пересечения плоскости $(ABC)$ с гранями $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ — это ребра $AB$ и $AD$ соответственно. Угол между ними, $\angle DAB$, является линейным углом нашего двугранного угла.
Так как основание $ABCD$ — прямоугольник, то $\angle DAB = 90^\circ$. Значит, двугранный угол при ребре $AA_1$ — прямой.
Аналогично доказывается, что и все остальные 10 двугранных углов прямоугольного параллелепипеда являются прямыми.
Ответ: Доказано, что все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.