Страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Величина линейного угла двугранного угла равна: 1) $30^{\circ}$; 2) $45^{\circ}$; 3) $60^{\circ}$. Найдите расстояние от точки А до второй грани, если расстояние от точки А, расположенной в одной грани, до ребра двугранного угла 10 см.

Пусть нам дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $e$. В одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$, расположена точка A.

По условию, расстояние от точки A до ребра двугранного угла равно 10 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки A перпендикуляр AB к ребру $e$ (точка B лежит на $e$). Таким образом, $AB \perp e$ и $AB = 10$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки A до второй грани, то есть до плоскости $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость $\beta$. Проведем перпендикуляр AC к плоскости $\beta$ (точка C лежит в $\beta$). Длина отрезка AC и есть искомое расстояние. Обозначим его $h$, то есть $AC = h$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как $AC \perp \beta$, то $AC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку C. В частности, $AC \perp BC$. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle ACB = 90^\circ$).

В этом построении отрезок AB — это наклонная к плоскости $\beta$, AC — перпендикуляр, а BC — проекция наклонной AB на плоскость $\beta$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AB$) перпендикулярна прямой ($e$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($BC$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $BC \perp e$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB \perp e$ (в грани $\alpha$) и $BC \perp e$ (в грани $\beta$), и они выходят из одной точки B на ребре. Следовательно, угол $\angle ABC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

В прямоугольном треугольнике ABC:
• $AB$ — гипотенуза ($AB = 10$ см).
• $AC$ — катет, противолежащий углу $\phi$.
• $\angle ABC = \phi$ — линейный угол двугранного угла.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\phi) = \frac{AC}{AB}$.Отсюда находим искомое расстояние $AC$:
$AC = AB \cdot \sin(\phi)$
$AC = 10 \cdot \sin(\phi)$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений угла $\phi$.

1) Если величина линейного угла равна $30^\circ$, то $\phi = 30^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

2) Если величина линейного угла равна $45^\circ$, то $\phi = 45^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

3) Если величина линейного угла равна $60^\circ$, то $\phi = 60^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.
Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

2.63. Покажите, что плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, перпендикулярна и его граням.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением и признаком перпендикулярности плоскостей.

Пусть нам дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$ (ребру двугранного угла). Таким образом, по определению, прямая $c$ принадлежит обеим плоскостям: $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

Пусть плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $c$, то есть $c \perp \gamma$.

Необходимо доказать, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна каждой из граней, то есть $\gamma \perp \alpha$ и $\gamma \perp \beta$.

Доказательство:

Вспомним признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1. Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\gamma$.
- Грань $\alpha$ содержит ребро $c$ ($c \subset \alpha$).
- По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
- Таким образом, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\gamma$.
- Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\alpha \perp \gamma$.

2. Рассмотрим плоскости $\beta$ и $\gamma$.
- Грань $\beta$ также содержит ребро $c$ ($c \subset \beta$).
- По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
- Таким образом, плоскость $\beta$ проходит через прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\gamma$.
- Следовательно, по тому же признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\beta \perp \gamma$.

Мы доказали, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна обеим граням $\alpha$ и $\beta$ двугранного угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, перпендикулярна каждой из его граней.

2.64. Величина двугранного угла равна $ \varphi $. Из точки А, лежащей в одной из граней, опущен перпендикуляр $ AB $ на другую грань этого двугранного угла. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если:

1) $ \varphi = 30^\circ $, $ AB = 5 $ см;

2) $ \varphi = 45^\circ $, $ AB = 3\sqrt{2} $ дм;

3) $ \varphi = 60^\circ $, $ AB = 2\sqrt{3} $ м (рис. 2.37).

Рис. 2.37

2.65. Сколько прямых, пересекаю

Пусть даны две пересекающиеся плоскости, образующие двугранный угол. Обозначим одну грань как плоскость $ \alpha $, а другую — как плоскость $ \beta $. Линия их пересечения, ребро двугранного угла, — это прямая $c$. Величина двугранного угла равна $ \varphi $.

Согласно условию, точка $A$ лежит в одной из граней (пусть это будет грань $ \alpha $). Из точки $A$ опущен перпендикуляр $AB$ на другую грань (плоскость $ \beta $). Это значит, что отрезок $AB$ перпендикулярен плоскости $ \beta $, а точка $B$ (основание перпендикуляра) лежит в плоскости $ \beta $.

Нам необходимо найти расстояние от точки $A$ до ребра $c$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AC$ к ребру $c$. Точка $C$ будет лежать на ребре $c$. Длина отрезка $AC$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AC$ является наклонной к плоскости $ \beta $, $AB$ — перпендикуляром, а $BC$ — проекцией наклонной $AC$ на плоскость $ \beta $.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна некоторой прямой ($c$) в плоскости, то и ее проекция ($BC$) перпендикулярна той же прямой. Так как мы построили $AC \perp c$, то из теоремы следует, что $BC \perp c$.

Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в разных гранях из одной точки на ребре. У нас $AC \perp c$ (в грани $ \alpha $) и $BC \perp c$ (в грани $ \beta $), и они выходят из одной точки $C$. Следовательно, угол $ \angle ACB $ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $ \angle ACB = \varphi $.

Поскольку $AB$ — перпендикуляр к плоскости $ \beta $, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $ \angle ABC = 90^\circ $.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является противолежащим углу $ \varphi $, а $AC$ — гипотенузой. Их соотношение определяется через синус угла:

$ \sin(\varphi) = \frac{AB}{AC} $

Выразим из этой формулы искомое расстояние $AC$:

$ AC = \frac{AB}{\sin(\varphi)} $

Теперь мы можем решить задачу для каждого из предложенных случаев, подставляя данные значения.

1) Дано: $ \varphi = 30^\circ $, $ AB = 5 $ см.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.

2) Дано: $ \varphi = 45^\circ $, $ AB = 3\sqrt{2} $ дм.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 6 $ дм.

Ответ: 6 дм.

3) Дано: $ \varphi = 60^\circ $, $ AB = 2\sqrt{3} $ м.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 4 $ м.

Ответ: 4 м.

2.65. Сколько прямых, пересекающих данную плоскость под углом $64^\circ$, можно провести через данную точку?

Чтобы решить эту задачу, необходимо определить, сколько прямых, проходящих через заданную точку $P$, образуют угол $64^\circ$ с данной плоскостью $\alpha$. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Этот угол является острым.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$ относительно плоскости $\alpha$.

Случай 1: Точка $P$ не лежит на плоскости $\alpha$.
Опустим из точки $P$ перпендикуляр $PO$ на плоскость $\alpha$. Точка $O$ является проекцией точки $P$ на плоскость. Любая прямая $l$, проходящая через точку $P$ и пересекающая плоскость в точке $Q$, имеет свою проекцию на плоскость — прямую $OQ$. Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle PQO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle POQ$.
Согласно условию, $\angle PQO = 64^\circ$.
Так как $\triangle POQ$ — прямоугольный (с прямым углом при вершине $O$), угол между прямой $l$ (представленной отрезком $PQ$) и перпендикуляром $PO$ к плоскости равен:$\angle OPQ = 90^\circ - \angle PQO = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.
Все искомые прямые должны проходить через точку $P$ и образовывать с фиксированной прямой $PO$ (нормалью) один и тот же угол, равный $26^\circ$. Геометрическое место таких прямых — это коническая поверхность с вершиной в точке $P$, осью $PO$ и углом $26^\circ$ между осью и образующими. Поскольку образующих у конуса бесконечно много, то и число таких прямых бесконечно.

Случай 2: Точка $P$ лежит на плоскости $\alpha$.
В этом случае проведём через точку $P$ прямую $n$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Угол между любой прямой $l$, проходящей через $P$, и плоскостью $\alpha$ является дополнением до $90^\circ$ угла между прямой $l$ и нормалью $n$.
Поскольку угол с плоскостью должен быть $64^\circ$, угол между искомыми прямыми и нормалью $n$ должен составлять $90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.
Множество всех прямых, проходящих через точку $P$ и образующих с осью $n$ постоянный угол $26^\circ$, также образует коническую поверхность (в данном случае — двойной конус с вершиной в $P$ и осью $n$). Это множество также содержит бесконечное число прямых.

Таким образом, независимо от того, лежит ли данная точка на плоскости или нет, существует бесконечное множество прямых, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Бесконечно много.

2.66. Наклонная $AB$ образует с плоскостью угол $\varphi$, отрезок $AC$ – проекция этой наклонной к данной плоскости. Найдите:

а) длину проекции, если: 1) $AB = 48$ см, $\varphi = 60^{\circ}$; 2) $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\varphi = 45^{\circ}$;

б) длину наклонной, если: 1) $AC = 4\sqrt{3}$ см, $\varphi = 30^{\circ}$; 2) $AC = 5$ дм, $\varphi = 60^{\circ}$;

в) угол $\varphi$, если: 1) $AB = 24$ см, $AC = 12$ см; 2) $AB = 8$ м, $AC = 4\sqrt{2}$ м.

В данной задаче рассматривается наклонная $AB$ к плоскости, её проекция $AC$ на эту плоскость и угол $\phi$ между ними. Эти три элемента образуют прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где $\angle C = 90^\circ$.

В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза (длина наклонной).

• $AC$ — катет, прилежащий к углу $\phi$ (длина проекции).

• $BC$ — катет, противолежащий углу $\phi$ (перпендикуляр от точки $B$ к плоскости).

• $\phi = \angle BAC$ — угол между наклонной и плоскостью.

Связь между этими величинами определяется через косинус угла $\phi$:

$AC = AB \cdot \cos(\phi)$

Или, что эквивалентно:

$AB = \frac{AC}{\cos(\phi)}$ и $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB}$

Ниже представлена иллюстрация данной геометрической конфигурации:

а)

Для нахождения длины проекции $AC$ используется формула $AC = AB \cdot \cos(\phi)$.

1) Дано: $AB = 48$ см, $\phi = 60^\circ$.
Решение: $AC = 48 \cdot \cos(60^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.
Ответ: 24 см.

2) Дано: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\phi = 45^\circ$.
Решение: $AC = 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б)

Для нахождения длины наклонной $AB$ используется формула $AB = \frac{AC}{\cos(\phi)}$.

1) Дано: $AC = 4\sqrt{3}$ см, $\phi = 30^\circ$.
Решение: $AB = \frac{4\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

2) Дано: $AC = 5$ дм, $\phi = 60^\circ$.
Решение: $AB = \frac{5}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10$ дм.
Ответ: 10 дм.

в)

Для нахождения угла $\phi$ используется формула $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB}$.

1) Дано: $AB = 24$ см, $AC = 12$ см.
Решение: $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\phi = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) Дано: $AB = 8$ м, $AC = 4\sqrt{2}$ м.
Решение: $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\phi = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2.67. Концы отрезка $AB$ длиной 6 см удалены от плоскости на расстоянии 5 см и 3 см. Найдите:

1) проекцию отрезка $AB$ на плоскость;

2) угол между прямой $AB$ и плоскостью.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость. Пусть $A_1$ и $B_1$ — ортогональные проекции точек A и B на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Расстояния от концов отрезка до плоскости — это длины этих перпендикуляров.

По условию задачи имеем:

• Длина отрезка: $AB = 6$ см.
• Расстояние от точки A до плоскости $\alpha$: $AA_1 = 5$ см.
• Расстояние от точки B до плоскости $\alpha$: $BB_1 = 3$ см.

Так как отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу. Следовательно, точки A, B, $B_1$, $A_1$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости $\alpha$. Фигура $AA_1B_1B$ — это прямоугольная трапеция с основаниями $AA_1$ и $BB_1$ и прямыми углами при вершинах $A_1$ и $B_1$.

Для решения задачи рассмотрим эту трапецию и выполним дополнительное построение.

Проведем из точки B высоту BC на основание $AA_1$. Так как $BC \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \perp AA_1$, то $BC \perp AA_1$. Таким образом, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Фигура $BCA_1B_1$ является прямоугольником, поэтому $BC = A_1B_1$ и $CA_1 = BB_1 = 3$ см.

Найдем длину катета AC в $\triangle ABC$: $AC = AA_1 - CA_1 = 5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2$ см.

1) проекцию отрезка AB на плоскость;

Проекцией отрезка AB на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1B_1$. Длина этого отрезка равна длине отрезка BC. Найдем длину катета BC в прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, длина проекции $A_1B_1 = BC = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2) угол между прямой AB и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Обозначим этот угол как $\phi$. Таким образом, нам нужно найти угол между прямой AB и прямой $A_1B_1$.

Так как $BC \parallel A_1B_1$, то искомый угол $\phi$ равен углу $\angle ABC$ в прямоугольном треугольнике ABC.

В $\triangle ABC$ мы можем найти синус этого угла: $\sin(\phi) = \sin(\angle ABC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

$\sin(\phi) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Отсюда, угол $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.

2.68. Точки $A$ и $B$ принадлежат одной грани двугранного угла. Из этих точек опущены перпендикуляры $AC=10$ см и $BD=20$ см на другую грань и перпендикуляры $AE = 30$ см и $BF$ на ребро двугранного угла. Найдите $BF$ (рис. 2.38).

Рис. 2.38

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей границей (ребром) $l$.Согласно условию, точки $A$ и $B$ принадлежат одной грани, пусть это будет грань $\alpha$.Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BD$ на другую грань, $\beta$. Это означает, что $AC \perp \beta$ и $BD \perp \beta$. Следовательно, точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$.Также из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AE$ и $BF$ на ребро двугранного угла $l$. Это означает, что $AE \perp l$ и $BF \perp l$. Так как $A, B \in \alpha$, то отрезки $AE$ и $BF$ лежат в плоскости $\alpha$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, лежащими в разных гранях и перпендикулярными ребру.

Рассмотрим точку $E$ на ребре $l$. У нас есть отрезок $AE \subset \alpha$, и $AE \perp l$. Так как $AC \perp \beta$, а ребро $l \subset \beta$, то $AC \perp l$. Прямые $AE$ и $AC$ перпендикулярны прямой $l$, следовательно, плоскость, проходящая через $AE$ и $AC$ (плоскость $\triangle ACE$), перпендикулярна ребру $l$. Линия пересечения этой плоскости с гранью $\beta$ — это прямая $CE$. Так как плоскость $(ACE) \perp l$, то и прямая $CE \perp l$.Таким образом, угол $\angle AEC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Поскольку $AC \perp \beta$ и отрезок $CE$ лежит в плоскости $\beta$, то $AC \perp CE$. Следовательно, треугольник $\triangle ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $AE$. Синус линейного угла $\phi$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AE$:$\sin \phi = \frac{AC}{AE}$

Аналогичные рассуждения проведем для точки $B$. Угол $\angle BFD$ также является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle BFD = \phi$. Треугольник $\triangle BDF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ (так как $BD \perp \beta$ и $FD \subset \beta$), и гипотенузой $BF$. Синус этого же угла $\phi$ равен:$\sin \phi = \frac{BD}{BF}$

Так как величина линейного угла двугранного угла постоянна вдоль всего ребра, мы можем приравнять полученные выражения для синуса:$\frac{AC}{AE} = \frac{BD}{BF}$

Подставим известные из условия значения: $AC = 10$ см, $BD = 20$ см, $AE = 30$ см.$\frac{10}{30} = \frac{20}{BF}$

Упростим левую часть уравнения:$\frac{1}{3} = \frac{20}{BF}$

Отсюда находим $BF$:$BF = 3 \cdot 20 = 60$ см.

Ответ: $BF = 60$ см.