Номер 2.63, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.63. Покажите, что плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, перпендикулярна и его граням.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением и признаком перпендикулярности плоскостей.

Пусть нам дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$ (ребру двугранного угла). Таким образом, по определению, прямая $c$ принадлежит обеим плоскостям: $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

Пусть плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $c$, то есть $c \perp \gamma$.

Необходимо доказать, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна каждой из граней, то есть $\gamma \perp \alpha$ и $\gamma \perp \beta$.

Доказательство:

Вспомним признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1. Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\gamma$.
- Грань $\alpha$ содержит ребро $c$ ($c \subset \alpha$).
- По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
- Таким образом, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\gamma$.
- Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\alpha \perp \gamma$.

2. Рассмотрим плоскости $\beta$ и $\gamma$.
- Грань $\beta$ также содержит ребро $c$ ($c \subset \beta$).
- По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
- Таким образом, плоскость $\beta$ проходит через прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\gamma$.
- Следовательно, по тому же признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\beta \perp \gamma$.

Мы доказали, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна обеим граням $\alpha$ и $\beta$ двугранного угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, перпендикулярна каждой из его граней.