Номер 2.60, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Из отрезков равной длины сооружена конструкция KABCDP, как показано на рис. 2.26. Здесь $AC = BD = KP = 2 \text{ см}$. Можно ли эту конструкцию протащить через круглое отверстие диаметром 1,8 см? (Фигуру KABCDP называют октаэдром.)

Рис. 2.26

Данная конструкция KABCDP является правильным октаэдром. Это многогранник, состоящий из двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Основанием является квадрат $ABCD$.

Из условия задачи известно, что диагонали квадрата $AC$ и $BD$, а также расстояние между вершинами пирамид $KP$ равны 2 см. Точка $O$ является центром симметрии октаэдра и точкой пересечения отрезков $AC$, $BD$ и $KP$. Следовательно, $AO = OC = BO = OD = KO = OP = 1$ см.

Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину. Найдем длину ребра, например, $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда длина ребра $a = AB = \sqrt{2}$ см.

Чтобы конструкция могла пройти через круглое отверстие, ее "ширина" в некоторой ориентации должна быть меньше или равна диаметру отверстия. Минимальная ширина выпуклого тела — это минимальное расстояние между парой параллельных опорных плоскостей. Для правильного октаэдра минимальная ширина равна расстоянию между двумя противоположными параллельными гранями.

Найдем это расстояние. Для этого введем систему координат с центром в точке $O$. Направим оси так, чтобы вершины имели координаты: $A(1, 0, 0)$, $C(-1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $D(0, -1, 0)$, $K(0, 0, 1)$, $P(0, 0, -1)$.

Рассмотрим грань $KAB$. Векторы, лежащие в плоскости этой грани: $\vec{KA} = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$ и $\vec{KB} = (0-0, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$. Вектор нормали к этой плоскости найдем как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{KA} \times \vec{KB} = (1, 1, 1)$. Уравнение плоскости грани $KAB$ имеет вид $x+y+z+d_1=0$. Подставив координаты точки $K(0, 0, 1)$, получим $0+0+1+d_1=0$, откуда $d_1=-1$. Уравнение плоскости: $x+y+z-1=0$.

Противоположной грани $KAB$ является грань $PCD$. Уравнение ее плоскости также будет иметь нормаль $\vec{n}=(1,1,1)$ и вид $x+y+z+d_2=0$. Подставив координаты точки $P(0, 0, -1)$, получим $0+0-1+d_2=0$, откуда $d_2=1$. Уравнение плоскости: $x+y+z+1=0$.

Расстояние $h$ между двумя параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ вычисляется по формуле: $h = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае: $h = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Это и есть минимальная ширина октаэдра. Теперь сравним эту величину с диаметром отверстия $d_{отв} = 1,8$ см.Нам нужно сравнить $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $1,8$.Возведем оба числа в квадрат:$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} = 1,(3)$$(1,8)^2 = 3,24$

Поскольку $1,(3) < 3,24$, то и $\frac{2}{\sqrt{3}} < 1,8$.Минимальная ширина октаэдра (приблизительно $1,155$ см) меньше диаметра отверстия ($1,8$ см). Следовательно, конструкцию можно протащить через отверстие, если сориентировать ее так, чтобы одна из граней была параллельна плоскости отверстия.

Ответ: Да, можно.