Номер 2.59, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. Через одну из сторон ромба проведена плоскость, расстояние от которой до противолежащей стороны равно 4 см. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найдите проекции сторон.

Пусть ромб обозначается $ABCD$, а плоскость — $\alpha$. По условию, одна из сторон ромба, пусть это будет сторона $AD$, лежит в плоскости $\alpha$. Противолежащая сторона $BC$ параллельна стороне $AD$, а значит, и всей плоскости $\alpha$. Расстояние от любой точки стороны $BC$ до плоскости $\alpha$ постоянно и равно 4 см.

Введем векторы, соответствующие сторонам ромба, выходящим из вершины $A$: $\vec{s}_1 = \vec{AD}$ и $\vec{s}_2 = \vec{AB}$. Поскольку это ромб, длины этих векторов равны: $|\vec{s}_1| = |\vec{s}_2| = a$, где $a$ — длина стороны ромба. Диагонали ромба можно выразить через эти векторы: $\vec{d}_1 = \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2$ и $\vec{d}_2 = \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{s}_1 - \vec{s}_2$.

Пусть $P$ — оператор ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Проекции диагоналей на плоскость $\alpha$ — это векторы $P(\vec{d}_1)$ и $P(\vec{d}_2)$. Так как проецирование является линейной операцией, мы можем записать:$P(\vec{d}_1) = P(\vec{s}_1 + \vec{s}_2) = P(\vec{s}_1) + P(\vec{s}_2)$$P(\vec{d}_2) = P(\vec{s}_1 - \vec{s}_2) = P(\vec{s}_1) - P(\vec{s}_2)$

Поскольку сторона $AD$ (вектор $\vec{s}_1$) лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с ней самой: $P(\vec{s}_1) = \vec{s}_1$.Обозначим проекцию вектора $\vec{s}_2$ на плоскость $\alpha$ как $\vec{s'}_2 = P(\vec{s}_2)$.Тогда проекции диагоналей равны $\vec{s}_1 + \vec{s'}_2$ и $\vec{s}_1 - \vec{s'}_2$.

По условию, длины проекций диагоналей равны 8 см и 2 см. Запишем это в виде уравнений для квадратов длин:$|\vec{s}_1 + \vec{s'}_2|^2 = 8^2 = 64$$|\vec{s}_1 - \vec{s'}_2|^2 = 2^2 = 4$

Раскроем квадраты скалярного произведения:$|\vec{s}_1|^2 + 2(\vec{s}_1 \cdot \vec{s'}_2) + |\vec{s'}_2|^2 = 64$$|\vec{s}_1|^2 - 2(\vec{s}_1 \cdot \vec{s'}_2) + |\vec{s'}_2|^2 = 4$

Сложим эти два уравнения:$2|\vec{s}_1|^2 + 2|\vec{s'}_2|^2 = 68$$|\vec{s}_1|^2 + |\vec{s'}_2|^2 = 34$Так как $|\vec{s}_1| = a$, получаем: $a^2 + |\vec{s'}_2|^2 = 34$. (1)

Теперь воспользуемся информацией о расстоянии. Расстояние от стороны $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки на стороне $BC$ (например, из точки $B$) на плоскость $\alpha$. Пусть $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости $\alpha$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $|\vec{AB} \cdot \vec{n}| = |\vec{s}_2 \cdot \vec{n}|$.Таким образом, $|\vec{s}_2 \cdot \vec{n}| = 4$.

Длина проекции вектора $\vec{s}_2$ связана с его длиной и его скалярным произведением с вектором нормали соотношением:$|\vec{s'}_2|^2 = |P(\vec{s}_2)|^2 = |\vec{s}_2|^2 - (\vec{s}_2 \cdot \vec{n})^2$$|\vec{s'}_2|^2 = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$. (2)

Подставим выражение (2) в уравнение (1):$a^2 + (a^2 - 16) = 34$$2a^2 - 16 = 34$$2a^2 = 50$$a^2 = 25$$a = 5$ см.

Мы нашли длину стороны ромба. Теперь найдем длины проекций сторон.Стороны ромба — это $AD$, $BC$, $AB$ и $CD$.Проекция стороны $AD$ (вектор $\vec{s}_1$) — это сама сторона $AD$, так как она лежит в плоскости. Ее длина равна $a = 5$ см.Сторона $BC$ параллельна $AD$ и плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция также имеет длину $a = 5$ см.Проекция стороны $AB$ (вектор $\vec{s}_2$) — это вектор $\vec{s'}_2$. Найдем его длину, используя уравнение (2):$|\vec{s'}_2|^2 = a^2 - 16 = 25 - 16 = 9$$|\vec{s'}_2| = 3$ см.Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, поэтому ее проекция имеет такую же длину — 3 см.

Таким образом, две проекции сторон имеют длину 5 см, а две другие — 3 см.

Ответ: длины проекций сторон ромба равны 5 см и 3 см.