Страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 17 см и 10 см. Разность их проекций равна 9 см. Найдите расстояние от этой точки до данной плоскости.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть $l_1 = 17$ см и $l_2 = 10$ см — длины двух наклонных, проведенных из этой же точки к плоскости. Пусть $p_1$ и $p_2$ — длины проекций этих наклонных на плоскость соответственно.

Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.

Согласно теореме Пифагора, $l^2 = h^2 + p^2$. Следовательно, $p^2 = l^2 - h^2$. Так как высота $h$ для обеих наклонных одинакова, то большей наклонной ($l_1 = 17$) соответствует большая проекция ($p_1$), а меньшей наклонной ($l_2 = 10$) — меньшая проекция ($p_2$).
По условию разность их проекций равна 9 см, значит $p_1 - p_2 = 9$.

Запишем систему уравнений, используя теорему Пифагора для двух наклонных:
$\begin{cases}h^2 + p_1^2 = 17^2 \\h^2 + p_2^2 = 10^2 \\p_1 - p_2 = 9\end{cases}$
$\begin{cases}h^2 + p_1^2 = 289 \\h^2 + p_2^2 = 100 \\p_1 - p_2 = 9\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(h^2 + p_1^2) - (h^2 + p_2^2) = 289 - 100$
$p_1^2 - p_2^2 = 189$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p_1 - p_2)(p_1 + p_2) = 189$

Подставим известное значение $p_1 - p_2 = 9$:
$9 \cdot (p_1 + p_2) = 189$
$p_1 + p_2 = \frac{189}{9}$
$p_1 + p_2 = 21$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для $p_1$ и $p_2$:
$\begin{cases}p_1 - p_2 = 9 \\p_1 + p_2 = 21\end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(p_1 - p_2) + (p_1 + p_2) = 9 + 21$
$2p_1 = 30$
$p_1 = 15$ см

Найдем $p_2$ из уравнения $p_1 - p_2 = 9$:
$15 - p_2 = 9 \implies p_2 = 15 - 9 = 6$ см

Наконец, найдем искомое расстояние $h$, подставив значение $p_2$ в уравнение $h^2 + p_2^2 = 100$:
$h^2 + 6^2 = 100$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см

Ответ: 8 см.

2.57. Расстояние от точки $D$ до каждой вершины треугольника $ABC$ равно 5 см и $AC = BC = 6$ см, а $AB = 4$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Пусть $DABC$ – это пирамида, основанием которой является треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ является проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$. Тогда отрезок $DO$ является высотой пирамиды, и его длина – это искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

По условию, точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$: $DA = DB = DC = 5$ см. Это означает, что точка $O$ (проекция $D$) является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, то есть $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOA$ (угол $DOA$ прямой, так как $DO$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$). По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Отсюда мы можем выразить искомое расстояние $DO$: $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{5^2 - R^2}$.

Для нахождения $DO$ нам необходимо сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AC = BC = 6$ см. Основание $AB = 4$ см. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Сначала найдем площадь треугольника $S$. Проведем высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $CM$:
$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см².

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{144}{32\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ см.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$R = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см.

Теперь, зная радиус $R = OA = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см, мы можем найти искомое расстояние $DO$ из прямоугольного треугольника $DOA$:
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = 5^2 - \left(\frac{9\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 25 - \frac{81 \cdot 2}{16} = 25 - \frac{162}{16} = 25 - \frac{81}{8}$.
Приведем к общему знаменателю:
$DO^2 = \frac{25 \cdot 8}{8} - \frac{81}{8} = \frac{200 - 81}{8} = \frac{119}{8}$.
Тогда искомое расстояние $DO$ равно:
$DO = \sqrt{\frac{119}{8}} = \frac{\sqrt{119}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{119}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{119} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{238}}{4}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{238}}{4}$ см.

2.58. Трос подвесной дороги, перекинутый через реку, укреплен на одном берегу на высоте 40 м, а на другом – на высоте 35,6 м от уровня реки. Расстояние между проекциями точек подвеса на горизонтальную плоскость равно 48,3 м. Найдите длину троса между креплениями, если на провисание троса нужно добавить 10% от его общей длины.

Для решения задачи представим ситуацию в виде геометрической модели. Точки крепления троса и их проекции на горизонтальную плоскость (уровень реки) образуют в вертикальной плоскости прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой кратчайшее расстояние между точками крепления.

1. Найдем расстояние по прямой между точками крепления троса.

Это расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника.
Один катет этого треугольника равен горизонтальному расстоянию между точками крепления:
$a = 48,3$ м.
Второй катет равен разности высот точек крепления:
$\Delta h = h_1 - h_2 = 40 - 35,6 = 4,4$ м.
Найдем длину гипотенузы $L_{прямая}$ по теореме Пифагора: $L_{прямая}^2 = a^2 + (\Delta h)^2$.
$L_{прямая} = \sqrt{48,3^2 + 4,4^2} = \sqrt{2332,89 + 19,36} = \sqrt{2352,25} = 48,5$ м.

2. Найдем общую длину троса с учетом провисания.

Обозначим искомую общую длину троса как $L_{общая}$. По условию, на провисание необходимо добавить 10% от этой общей длины. Это означает, что прямое расстояние между точками крепления составляет 90% от общей длины троса.
Таким образом, мы можем составить уравнение:
$L_{прямая} = L_{общая} - 0,10 \times L_{общая}$
$L_{прямая} = 0,9 \times L_{общая}$
Отсюда выразим общую длину троса:
$L_{общая} = \frac{L_{прямая}}{0,9}$
Подставим найденное значение $L_{прямая}$:
$L_{общая} = \frac{48,5}{0,9} \approx 53,888...$ м.
Округляя результат до сотых, получаем:
$L_{общая} \approx 53,89$ м.
Ответ: 53,89 м.

2.59. Через одну из сторон ромба проведена плоскость, расстояние от которой до противолежащей стороны равно 4 см. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найдите проекции сторон.

Пусть ромб обозначается $ABCD$, а плоскость — $\alpha$. По условию, одна из сторон ромба, пусть это будет сторона $AD$, лежит в плоскости $\alpha$. Противолежащая сторона $BC$ параллельна стороне $AD$, а значит, и всей плоскости $\alpha$. Расстояние от любой точки стороны $BC$ до плоскости $\alpha$ постоянно и равно 4 см.

Введем векторы, соответствующие сторонам ромба, выходящим из вершины $A$: $\vec{s}_1 = \vec{AD}$ и $\vec{s}_2 = \vec{AB}$. Поскольку это ромб, длины этих векторов равны: $|\vec{s}_1| = |\vec{s}_2| = a$, где $a$ — длина стороны ромба. Диагонали ромба можно выразить через эти векторы: $\vec{d}_1 = \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2$ и $\vec{d}_2 = \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{s}_1 - \vec{s}_2$.

Пусть $P$ — оператор ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Проекции диагоналей на плоскость $\alpha$ — это векторы $P(\vec{d}_1)$ и $P(\vec{d}_2)$. Так как проецирование является линейной операцией, мы можем записать:$P(\vec{d}_1) = P(\vec{s}_1 + \vec{s}_2) = P(\vec{s}_1) + P(\vec{s}_2)$$P(\vec{d}_2) = P(\vec{s}_1 - \vec{s}_2) = P(\vec{s}_1) - P(\vec{s}_2)$

Поскольку сторона $AD$ (вектор $\vec{s}_1$) лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с ней самой: $P(\vec{s}_1) = \vec{s}_1$.Обозначим проекцию вектора $\vec{s}_2$ на плоскость $\alpha$ как $\vec{s'}_2 = P(\vec{s}_2)$.Тогда проекции диагоналей равны $\vec{s}_1 + \vec{s'}_2$ и $\vec{s}_1 - \vec{s'}_2$.

По условию, длины проекций диагоналей равны 8 см и 2 см. Запишем это в виде уравнений для квадратов длин:$|\vec{s}_1 + \vec{s'}_2|^2 = 8^2 = 64$$|\vec{s}_1 - \vec{s'}_2|^2 = 2^2 = 4$

Раскроем квадраты скалярного произведения:$|\vec{s}_1|^2 + 2(\vec{s}_1 \cdot \vec{s'}_2) + |\vec{s'}_2|^2 = 64$$|\vec{s}_1|^2 - 2(\vec{s}_1 \cdot \vec{s'}_2) + |\vec{s'}_2|^2 = 4$

Сложим эти два уравнения:$2|\vec{s}_1|^2 + 2|\vec{s'}_2|^2 = 68$$|\vec{s}_1|^2 + |\vec{s'}_2|^2 = 34$Так как $|\vec{s}_1| = a$, получаем: $a^2 + |\vec{s'}_2|^2 = 34$. (1)

Теперь воспользуемся информацией о расстоянии. Расстояние от стороны $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки на стороне $BC$ (например, из точки $B$) на плоскость $\alpha$. Пусть $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости $\alpha$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $|\vec{AB} \cdot \vec{n}| = |\vec{s}_2 \cdot \vec{n}|$.Таким образом, $|\vec{s}_2 \cdot \vec{n}| = 4$.

Длина проекции вектора $\vec{s}_2$ связана с его длиной и его скалярным произведением с вектором нормали соотношением:$|\vec{s'}_2|^2 = |P(\vec{s}_2)|^2 = |\vec{s}_2|^2 - (\vec{s}_2 \cdot \vec{n})^2$$|\vec{s'}_2|^2 = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$. (2)

Подставим выражение (2) в уравнение (1):$a^2 + (a^2 - 16) = 34$$2a^2 - 16 = 34$$2a^2 = 50$$a^2 = 25$$a = 5$ см.

Мы нашли длину стороны ромба. Теперь найдем длины проекций сторон.Стороны ромба — это $AD$, $BC$, $AB$ и $CD$.Проекция стороны $AD$ (вектор $\vec{s}_1$) — это сама сторона $AD$, так как она лежит в плоскости. Ее длина равна $a = 5$ см.Сторона $BC$ параллельна $AD$ и плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция также имеет длину $a = 5$ см.Проекция стороны $AB$ (вектор $\vec{s}_2$) — это вектор $\vec{s'}_2$. Найдем его длину, используя уравнение (2):$|\vec{s'}_2|^2 = a^2 - 16 = 25 - 16 = 9$$|\vec{s'}_2| = 3$ см.Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, поэтому ее проекция имеет такую же длину — 3 см.

Таким образом, две проекции сторон имеют длину 5 см, а две другие — 3 см.

Ответ: длины проекций сторон ромба равны 5 см и 3 см.

2.60. Из отрезков равной длины сооружена конструкция KABCDP, как показано на рис. 2.26. Здесь $AC = BD = KP = 2 \text{ см}$. Можно ли эту конструкцию протащить через круглое отверстие диаметром 1,8 см? (Фигуру KABCDP называют октаэдром.)

Рис. 2.26

Данная конструкция KABCDP является правильным октаэдром. Это многогранник, состоящий из двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Основанием является квадрат $ABCD$.

Из условия задачи известно, что диагонали квадрата $AC$ и $BD$, а также расстояние между вершинами пирамид $KP$ равны 2 см. Точка $O$ является центром симметрии октаэдра и точкой пересечения отрезков $AC$, $BD$ и $KP$. Следовательно, $AO = OC = BO = OD = KO = OP = 1$ см.

Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину. Найдем длину ребра, например, $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда длина ребра $a = AB = \sqrt{2}$ см.

Чтобы конструкция могла пройти через круглое отверстие, ее "ширина" в некоторой ориентации должна быть меньше или равна диаметру отверстия. Минимальная ширина выпуклого тела — это минимальное расстояние между парой параллельных опорных плоскостей. Для правильного октаэдра минимальная ширина равна расстоянию между двумя противоположными параллельными гранями.

Найдем это расстояние. Для этого введем систему координат с центром в точке $O$. Направим оси так, чтобы вершины имели координаты: $A(1, 0, 0)$, $C(-1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $D(0, -1, 0)$, $K(0, 0, 1)$, $P(0, 0, -1)$.

Рассмотрим грань $KAB$. Векторы, лежащие в плоскости этой грани: $\vec{KA} = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$ и $\vec{KB} = (0-0, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$. Вектор нормали к этой плоскости найдем как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{KA} \times \vec{KB} = (1, 1, 1)$. Уравнение плоскости грани $KAB$ имеет вид $x+y+z+d_1=0$. Подставив координаты точки $K(0, 0, 1)$, получим $0+0+1+d_1=0$, откуда $d_1=-1$. Уравнение плоскости: $x+y+z-1=0$.

Противоположной грани $KAB$ является грань $PCD$. Уравнение ее плоскости также будет иметь нормаль $\vec{n}=(1,1,1)$ и вид $x+y+z+d_2=0$. Подставив координаты точки $P(0, 0, -1)$, получим $0+0-1+d_2=0$, откуда $d_2=1$. Уравнение плоскости: $x+y+z+1=0$.

Расстояние $h$ между двумя параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ вычисляется по формуле: $h = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае: $h = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Это и есть минимальная ширина октаэдра. Теперь сравним эту величину с диаметром отверстия $d_{отв} = 1,8$ см.Нам нужно сравнить $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $1,8$.Возведем оба числа в квадрат:$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} = 1,(3)$$(1,8)^2 = 3,24$

Поскольку $1,(3) < 3,24$, то и $\frac{2}{\sqrt{3}} < 1,8$.Минимальная ширина октаэдра (приблизительно $1,155$ см) меньше диаметра отверстия ($1,8$ см). Следовательно, конструкцию можно протащить через отверстие, если сориентировать ее так, чтобы одна из граней была параллельна плоскости отверстия.

Ответ: Да, можно.