Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость? Какую точку называют основанием перпендикуляра?

2. Укажите на рисунке наклонную, основание перпендикуляра и основание наклонной.

3. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и докажите ее.

4. Сформулируйте свойство перпендикуляра, наклонной и ее проекции и докажите его.

5. Что нужно понимать под расстоянием между: 1) точкой и прямой; 2) фигурами; 3) параллельными плоскостями; 4) скрещивающимися прямыми; 5) прямой и плоскостью?

1. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость? Какую точку называют основанием перпендикуляра?

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не лежащая в этой плоскости. Перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$, называется отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ плоскости $\alpha$, при условии, что прямая, содержащая этот отрезок, перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Точка $H$, которая является концом перпендикуляра и лежит в плоскости $\alpha$, называется основанием перпендикуляра.

Ответ: Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, — это отрезок, соединяющий эту точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием перпендикуляра.

2. Укажите на рисунке наклонную, основание перпендикуляра и основание наклонной.

Рассмотрим следующую конструкцию в пространстве:

На рисунке показаны: плоскость $\alpha$, точка $A$ вне плоскости, $AH$ — перпендикуляр из $A$ на $\alpha$. Отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с точкой $M$ на плоскости $\alpha$ ($M \neq H$), называется наклонной. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Точка $M$ называется основанием наклонной. Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.

Ответ: На представленном рисунке наклонной является отрезок $AM$, основанием перпендикуляра — точка $H$, основанием наклонной — точка $M$.

3. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и докажите ее.

Формулировка теоремы: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Существует и обратная теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Доказательство прямой теоремы:

Пусть $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AM$ — наклонная, а $HM$ — ее проекция на плоскость $\alpha$. Пусть в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проведена прямая $a$, перпендикулярная проекции $HM$.

Дано: $AH \perp \alpha$, $AM$ — наклонная, $HM$ — проекция, $a \subset \alpha$, $M \in a$, $a \perp HM$.

Доказать: $a \perp AM$.

Доказательство: 1. Поскольку $AH \perp \alpha$ (по условию), то $AH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, следовательно, $AH \perp a$. 2. По условию, прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$, то есть $a \perp HM$. 3. Прямые $AH$ и $HM$ пересекаются в точке $H$ и образуют плоскость $AHM$. 4. Так как прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AH$ и $HM$) в плоскости $AHM$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $AHM$ ($a \perp (AHM)$). 5. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AM$ лежит в плоскости $AHM$. Следовательно, $a \perp AM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

4. Сформулируйте свойство перпендикуляра, наклонной и ее проекции и докажите его.

Свойства связывают длины перпендикуляра, наклонных и их проекций, проведенных из одной точки к плоскости.

Свойство 1: Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Свойство 2: Из двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, больше та, у которой проекция больше.

Свойство 3 (следствие из 2): Если наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции. И наоборот, если проекции равны, то равны и наклонные.

Доказательство свойств:

Пусть $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $AM$ и $AN$ — две наклонные, проведенные из точки $A$ к этой плоскости. $HM$ и $HN$ — их проекции.

Доказательство свойства 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$ (угол $\angle AHM = 90^{\circ}$, так как $AH \perp \alpha$). В этом треугольнике $AM$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $AM > AH$. Это верно для любой наклонной.

Доказательство свойства 2: Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AHM$ и $\triangle AHN$. По теореме Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$ и $AN^2 = AH^2 + HN^2$. Пусть проекция $HM$ больше проекции $HN$, то есть $HM > HN$. Так как длины — положительные величины, то $HM^2 > HN^2$. Сравним квадраты длин наклонных: $AH^2 + HM^2 > AH^2 + HN^2$, что означает $AM^2 > AN^2$. Следовательно, $AM > AN$. То есть, наклонная с большей проекцией сама является большей.

Ответ: Основные свойства: 1) Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, короче любой наклонной из той же точки. 2) Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше. 3) Равным наклонным соответствуют равные проекции, и наоборот.

5. Что нужно понимать под расстоянием между: 1) точкой и прямой; 2) фигурами; 3) параллельными плоскостями; 4) скрещивающимися прямыми; 5) прямой и плоскостью?

Под расстоянием в геометрии понимают длину кратчайшего отрезка, соединяющего два объекта.

1) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если точка лежит на прямой, расстояние равно нулю.

2) Расстояние между двумя фигурами (множествами точек) — это наименьшее из всех возможных расстояний между точкой первой фигуры и точкой второй фигуры. Формально, это инфимум (точная нижняя грань) длин отрезков, соединяющих точки этих фигур. Если фигуры пересекаются, расстояние равно нулю.

3) Расстояние между параллельными плоскостями — это длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

4) Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Существует единственный отрезок, перпендикулярный обеим прямым, концы которого лежат на этих прямых; его длина и есть искомое расстояние.

5) Расстояние между прямой и плоскостью — если прямая пересекает плоскость, расстояние равно нулю. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние между ними — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость.

Ответ: 1) Точка и прямая: длина перпендикуляра от точки к прямой. 2) Фигуры: длина кратчайшего отрезка, соединяющего фигуры. 3) Параллельные плоскости: длина их общего перпендикуляра. 4) Скрещивающиеся прямые: длина их общего перпендикуляра. 5) Прямая и плоскость (параллельные): длина перпендикуляра от любой точки прямой к плоскости.