Страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Какая фигура образуется из множества точек пространства, равноудаленных от концов отрезка $AB$?

Задача состоит в том, чтобы определить геометрическое место точек (ГМТ) в трехмерном пространстве, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек A и B, являющихся концами отрезка AB.

Пусть $M$ — произвольная точка пространства, удовлетворяющая условию равноудаленности от точек A и B. Это означает, что расстояние от $M$ до A равно расстоянию от $M$ до B, то есть $|MA| = |MB|$.

Геометрическое доказательство:

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию его боковые стороны равны ($|MA| = |MB|$), этот треугольник является равнобедренным с основанием AB. Пусть точка C — середина отрезка AB. В равнобедренном треугольнике $\triangle AMB$ медиана MC, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок MC перпендикулярен отрезку AB, то есть $MC \perp AB$.

Это верно для любой точки M, равноудаленной от A и B. Таким образом, искомое множество точек — это совокупность всех таких точек M, что отрезок, соединяющий точку M с серединой C отрезка AB, перпендикулярен самому отрезку AB. В пространстве множество всех точек, перпендикулярных данной прямой (в нашем случае, прямой AB) и проходящих через фиксированную точку на этой прямой (точку C), образует плоскость.

Следовательно, искомая фигура — это плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.

Алгебраическое доказательство:

Для строгого доказательства введем систему координат. Расположим отрезок AB на оси Ox так, чтобы его середина C совпала с началом координат. Пусть длина отрезка AB равна $2a$. Тогда точки A и B будут иметь координаты $A(-a, 0, 0)$ и $B(a, 0, 0)$. Пусть произвольная точка M имеет координаты $(x, y, z)$.

Условие равноудаленности $|MA| = |MB|$ эквивалентно равенству квадратов этих расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2$.

Выразим квадраты расстояний через координаты точек:

$|MA|^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2 + z^2$

$|MB|^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$

Приравняем эти выражения:

$(x + a)^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2$

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:

$2ax = -2ax$

$4ax = 0$

Поскольку отрезок AB имеет ненулевую длину, $a \neq 0$. Следовательно, должно выполняться равенство $x = 0$.

Уравнение $x=0$ в трехмерной декартовой системе координат задает плоскость YZ. В нашей системе координат эта плоскость проходит через начало координат (то есть через середину C отрезка AB) и перпендикулярна оси Ox (то есть прямой, содержащей отрезок AB).

Таким образом, оба метода приводят к одному и тому же выводу.

На рисунке показана плоскость $\alpha$, которая является искомым множеством точек. Каждая точка $M$, лежащая в этой плоскости, равноудалена от точек A и B ($|MA| = |MB|$). Плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину C.

Ответ: Плоскость, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину.

2.18. Отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника $ABC$. Найдите периметр треугольника $BCD$, если:

1) $AB = 3$ см, $AD = 4$ см;

2) $AB = AD = a$.

Для нахождения периметра треугольника $BCD$ необходимо найти длины его сторон: $BC$, $BD$ и $CD$. Периметр вычисляется по формуле $P_{BCD} = BC + BD + CD$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то длина его стороны $BC$ равна длине стороны $AB$, то есть $BC = AB$.

По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $AD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $A$.

Длины сторон $BD$ и $CD$, являющихся гипотенузами в этих треугольниках, можно найти по теореме Пифагора. Из прямоугольного $\triangle ABD$ имеем: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}$. Из прямоугольного $\triangle ACD$ имеем: $CD = \sqrt{AC^2 + AD^2}$. Так как $AB = AC$ (потому что $\triangle ABC$ равносторонний), то $BD = CD$. Это означает, что треугольник $BCD$ — равнобедренный с основанием $BC$.

1) По условию $AB = 3$ см и $AD = 4$ см. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, его сторона $BC = AB = 3$ см. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $BD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Поскольку $AC = AB$, то и $CD = BD = 5$ см. Периметр треугольника $BCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{BCD} = BC + BD + CD = 3 + 5 + 5 = 13$ см.
Ответ: $13$ см.

2) По условию $AB = AD = a$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, его сторона $BC = AB = a$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $BD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Поскольку $AC = AB$, то $CD = BD = a\sqrt{2}$. Периметр треугольника $BCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{BCD} = BC + BD + CD = a + a\sqrt{2} + a\sqrt{2} = a + 2a\sqrt{2} = a(1 + 2\sqrt{2})$.
Ответ: $a(1 + 2\sqrt{2})$.

2.19. Даны прямые $a, b, m$ и $n$ такие, что $a \parallel m, b \parallel n, a \perp b$. Докажите, что $m \perp n$.

Дано:
Даны прямые $a, b, m, n$ такие, что:
1. $a \parallel m$ (прямая $a$ параллельна прямой $m$)
2. $b \parallel n$ (прямая $b$ параллельна прямой $n$)
3. $a \perp b$ (прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$)

Доказать:
$m \perp n$ (прямая $m$ перпендикулярна прямой $n$)

Для наглядности представим расположение прямых на рисунке. Условие $a \perp b$ показано символом прямого угла. Нам нужно доказать, что угол между $m$ и $n$ также прямой.

Доказательство:
Доказательство основано на следующем свойстве (теореме) о параллельных и перпендикулярных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

1. Согласно условию, $a \parallel m$ и $a \perp b$. Применим указанное свойство к параллельным прямым $a$ и $m$ и секущей $b$. Так как прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, то она должна быть перпендикулярна и параллельной ей прямой $m$. Следовательно, мы заключаем, что $b \perp m$.

2. Далее, согласно условию, $b \parallel n$. Из первого шага доказательства мы знаем, что $m \perp b$. Снова применим то же свойство, но теперь к параллельным прямым $b$ и $n$ и секущей $m$. Так как прямая $m$ перпендикулярна прямой $b$, то она должна быть перпендикулярна и параллельной ей прямой $n$. Следовательно, мы заключаем, что $m \perp n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:
Утверждение, что прямые $m$ и $n$ перпендикулярны ($m \perp n$), доказано.

2.20. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ и B, $D \in \alpha$, $AC \cap \alpha = P$. Найдите $CD$, если $AB = 12$ см, $BD = PD = 3$ см (рис.2.15).

Рис. 2.15

По условию задачи прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Следовательно, $AB \parallel CD$.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, они, а также все точки $A, B, C, D$, лежат в одной плоскости $\beta$. По условию, точка $P$ является точкой пересечения прямой $AC$ и плоскости $\alpha$, значит, точка $P$ также лежит на прямой $AC$ и, следовательно, в плоскости $\beta$. Таким образом, все точки $A, B, C, D, P$ лежат в одной плоскости.

Рассмотрим треугольники $\triangle PBA$ и $\triangle PDC$, лежащие в этой плоскости $\beta$.

Так как $AB \perp \alpha$ и прямая $PB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AB \perp PB$. Следовательно, $\triangle PBA$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle PBA = 90^\circ$.

Аналогично, так как $CD \perp \alpha$ и прямая $PD$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CD \perp PD$. Следовательно, $\triangle PDC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle PDC = 90^\circ$.

Треугольники $\triangle PBA$ и $\triangle PDC$ имеют общий угол $\angle P$. Таким образом, эти треугольники подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий острый угол).

Из подобия треугольников ($\triangle PDC \sim \triangle PBA$) следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{CD}{AB} = \frac{PD}{PB} $

По условию нам даны длины отрезков: $AB = 12$ см, $PD = 3$ см, $BD = 3$ см. Точки $P, D, B$ лежат на одной прямой (линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $\alpha$). Найдем длину отрезка $PB$:

$ PB = PD + DB = 3 + 3 = 6 $ см.

Теперь подставим все известные значения в записанную ранее пропорцию, чтобы найти $CD$:

$ \frac{CD}{12} = \frac{3}{6} $

Упростим дробь в правой части:

$ \frac{CD}{12} = \frac{1}{2} $

Выразим $CD$:

$ CD = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

2.21. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$. Отрезки $AC$ и $BD$, расположенные по одну сторону плоскости $\alpha$, перпендикулярны ей. Найдите:

1) углы четырехугольника $ABCD$, если $AB = BD = 3$ см, $AC = 6$ см;

2) периметр четырехугольника $ABCD$, если $AB=8$ см, $AC=21$ см, $BD=6$ см.

Рис. 2.15

Поскольку отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу ($AC \parallel BD$). Точки $A, C, B, D$ лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Фигура, образованная этими точками, является трапецией. Пусть это будет трапеция $ACDB$ с основаниями $AC$ и $BD$.

Так как $AC \perp \alpha$ и точка $A$ лежит в $\alpha$, то отрезок $AC$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $A$. В частности, $AC \perp AB$. Следовательно, угол $\angle CAB = 90^\circ$.

Аналогично, так как $BD \perp \alpha$ и точка $B$ лежит в $\alpha$, то $BD \perp AB$. Следовательно, угол $\angle DBA = 90^\circ$.

Таким образом, четырехугольник $ACDB$ — это прямоугольная трапеция, где $AC$ и $BD$ — параллельные основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота трапеции). Углы при вершинах $A$ и $B$ этой трапеции прямые.

Для наглядности представим эту трапецию на плоскости, а также вспомогательные построения для решения задачи.

1) Найти углы четырехугольника $ABCD$, если $AB = 3$ см, $BD = 3$ см, $AC = 6$ см.

Как мы установили, фигура является прямоугольной трапецией $ACDB$ с углами $\angle CAB = 90^\circ$ и $\angle DBA = 90^\circ$.

Для нахождения двух других углов, $\angle ACD$ и $\angle CDB$, проведем из точки $D$ высоту $DH$ к основанию $AC$. Точка $H$ будет лежать на отрезке $AC$.

Полученный четырехугольник $ABDH$ является прямоугольником, так как у него все углы прямые. Следовательно, его противоположные стороны равны:

$DH = AB = 3$ см,

$AH = BD = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$ (угол $\angle DHC = 90^\circ$).

Длина катета $HC$ равна разности длин $AC$ и $AH$:

$HC = AC - AH = 6 - 3 = 3$ см.

Мы получили, что в прямоугольном треугольнике $\triangle DHC$ катеты $DH$ и $HC$ равны: $DH = HC = 3$ см. Это означает, что $\triangle DHC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.

Следовательно, угол $\angle HCD = 45^\circ$. Этот угол является углом $\angle C$ трапеции, то есть $\angle ACD = 45^\circ$.

Другой острый угол треугольника, $\angle HDC = 45^\circ$.

Угол $\angle D$ трапеции, то есть $\angle CDB$, состоит из двух углов: $\angle CDH$ и $\angle HDB$.

Угол $\angle HDB$ является прямым, так как $ABDH$ — прямоугольник, значит $\angle HDB = 90^\circ$.

Тогда $\angle CDB = \angle CDH + \angle HDB = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $90^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

Ответ: Углы четырехугольника равны $90^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

2) Найти периметр четырехугольника $ABCD$, если $AB=8$ см, $AC=21$ см, $BD=6$ см.

Периметр трапеции $ACDB$ равен сумме длин ее сторон: $P = AC + CD + DB + BA$.

Нам известны длины трех сторон: $AC=21$ см, $BD=6$ см, $AB=8$ см.

Найдем длину четвертой стороны $CD$. Для этого, как и в первом пункте, проведем высоту $DH$ из точки $D$ на основание $AC$.

$DH = AB = 8$ см,

$AH = BD = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$.

Найдем длину катета $HC$:

$HC = AC - AH = 21 - 6 = 15$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle DHC$:

$CD^2 = DH^2 + HC^2$

$CD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$CD = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь можем вычислить периметр:

$P = AC + CD + DB + BA = 21 + 17 + 6 + 8 = 52$ см.

Ответ: Периметр четырехугольника равен 52 см.

2.22. Периметр равностороннего треугольника $ABC$ равен $2p$, отрезки $AD$ и $BK$ перпендикулярны плоскости этого треугольника. Найдите периметр треугольника $CDK$, если $ABKD$ – квадрат.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний, и его периметр $P_{ABC}$ равен $2p$. Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то длина каждой стороны вычисляется как периметр, деленный на 3:

$AB = BC = AC = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{2p}{3}$

Также по условию, четырехугольник $ABKD$ — квадрат. Это означает, что все его стороны равны, и их длина равна длине стороны $AB$ треугольника. Следовательно:

$AD = BK = KD = AB = \frac{2p}{3}$

Для наглядности представим геометрическую конфигурацию:

Отрезки $AD$ и $BK$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$. Из этого следует:

1. Отрезок $AD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AC$. Поэтому треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAC = 90^\circ$).

2. Отрезок $BK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $B$. В частности, $BK \perp BC$. Поэтому треугольник $BKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle KBC = 90^\circ$).

Найдем длину стороны $CD$ искомого треугольника $CDK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$CD^2 = AC^2 + AD^2$

Подставим известные значения длин катетов $AC = \frac{2p}{3}$ и $AD = \frac{2p}{3}$:

$CD^2 = (\frac{2p}{3})^2 + (\frac{2p}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{2p}{3})^2$

$CD = \sqrt{2 \cdot (\frac{2p}{3})^2} = \frac{2p}{3}\sqrt{2}$

Аналогично найдем длину стороны $KC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. По теореме Пифагора:

$KC^2 = BC^2 + BK^2$

Подставим известные значения длин катетов $BC = \frac{2p}{3}$ и $BK = \frac{2p}{3}$:

$KC^2 = (\frac{2p}{3})^2 + (\frac{2p}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{2p}{3})^2$

$KC = \sqrt{2 \cdot (\frac{2p}{3})^2} = \frac{2p}{3}\sqrt{2}$

Теперь мы можем найти периметр треугольника $CDK$, который равен сумме длин его сторон $CD$, $KC$ и $DK$. Мы уже нашли $CD$ и $KC$, а длина $DK$ нам известна из свойства квадрата.

$P_{CDK} = CD + KC + DK$

$P_{CDK} = \frac{2p}{3}\sqrt{2} + \frac{2p}{3}\sqrt{2} + \frac{2p}{3}$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

$P_{CDK} = \frac{2p}{3}( \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1) = \frac{2p}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

Ответ: $\frac{2p(1 + 2\sqrt{2})}{3}$

2.23. Какой пространственной фигурой будет геометрическое место точек, расположенных на одинаковом расстоянии от всех вершин:

1) равносторонним треугольником;

2) квадратом?

1) равносторонним треугольником

Геометрическое место точек (ГМТ) в пространстве, равноудаленных от двух заданных точек (например, вершин $A$ и $B$ треугольника), представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки ($AB$), и проходящую через его середину. Такую плоскость называют серединной перпендикулярной плоскостью к отрезку.

Чтобы найти ГМТ, равноудаленное от всех трех вершин равностороннего треугольника $ABC$, необходимо найти пересечение трех таких плоскостей: серединной перпендикулярной плоскости к $AB$, серединной перпендикулярной плоскости к $BC$ и серединной перпендикулярной плоскости к $CA$.

В плоскости самого треугольника точка, равноудаленная от всех его вершин, — это центр описанной окружности. Для равностороннего треугольника эта точка (обозначим ее $O$) также является центром вписанной окружности, ортоцентром и центром масс. Эта точка $O$ по определению принадлежит всем трем серединным перпендикулярным плоскостям.

Пересечение этих трех плоскостей представляет собой прямую линию. Эта прямая проходит через центр описанной окружности $O$ и перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник.

Таким образом, искомой пространственной фигурой является прямая.

Ответ: Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная его плоскости.

2) квадратом

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Пусть дан квадрат $ABCD$. Мы ищем геометрическое место точек $M$ в пространстве, для которых $MA = MB = MC = MD$.

Это ГМТ является пересечением серединных перпендикулярных плоскостей к отрезкам, соединяющим вершины, например, к сторонам $AB$ и $BC$, или к диагоналям $AC$ и $BD$.

В плоскости квадрата точка, равноудаленная от всех его вершин, — это центр квадрата (точка пересечения диагоналей), который является центром его описанной окружности. Обозначим эту точку $O$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин, она принадлежит искомому ГМТ. Все ГМТ является пересечением серединных перпендикулярных плоскостей к сторонам квадрата. Это пересечение — прямая, которая проходит через точку $O$ и перпендикулярна плоскости квадрата.

Таким образом, искомой пространственной фигурой также является прямая.

Ответ: Прямая, проходящая через центр квадрата (точку пересечения диагоналей) и перпендикулярная его плоскости.

2.24. Определите множество точек, расположенных в пространстве на одинаковом расстоянии от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Нам нужно найти множество всех точек $M$ в пространстве, для которых выполняется условие $MA = MB = MC$.

Рассмотрим сначала множество точек, равноудаленных от двух данных точек, например, от $A$ и $B$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Обозначим эту плоскость как $\alpha_1$. Таким образом, для любой точки $M \in \alpha_1$ выполняется равенство $MA = MB$.

Аналогично, множество точек, равноудаленных от точек $B$ и $C$, — это плоскость $\alpha_2$, перпендикулярная отрезку $BC$ и проходящая через его середину. Для любой точки $M \in \alpha_2$ выполняется равенство $MB = MC$.

Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть принадлежать пересечению плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Плоскость $\alpha_1$ перпендикулярна прямой $AB$, а плоскость $\alpha_2$ перпендикулярна прямой $BC$. Поскольку по условию точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, прямые $AB$ и $BC$ не параллельны и не совпадают. Следовательно, плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$, перпендикулярные им, также не параллельны и не совпадают. Пересечением двух непараллельных плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $l$.

Для любой точки $M$, принадлежащей прямой $l$, одновременно выполняются равенства $MA = MB$ и $MB = MC$, из чего следует, что $MA = MB = MC$. Таким образом, любая точка на прямой $l$ равноудалена от всех трех точек $A$, $B$ и $C$.

Определим положение этой прямой $l$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABC$. Обозначим эту плоскость как $\Pi$.

Прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha_1$ (перпендикулярной $AB$) и плоскости $\alpha_2$ (перпендикулярной $BC$). Прямая, лежащая в двух плоскостях, перпендикулярна их нормальным векторам. В нашем случае, прямая $l$ перпендикулярна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как эти векторы лежат в плоскости $\Pi$ и не коллинеарны, прямая $l$ перпендикулярна всей плоскости $\Pi$.

Теперь найдем точку, через которую проходит прямая $l$. В плоскости $\Pi$ существует единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника $\triangle ABC$ — это центр $O$ описанной около этого треугольника окружности. Точка $O$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника в плоскости $\Pi$. Так как точка $O$ равноудалена от $A$, $B$ и $C$, она должна принадлежать искомому множеству точек, то есть прямой $l$.

Таким образом, искомое множество точек — это прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, и перпендикулярная плоскости этого треугольника.

Ответ: Множество точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой, представляет собой прямую. Эта прямая перпендикулярна плоскости, в которой лежат три данные точки, и проходит через центр окружности, описанной около треугольника, образованного этими точками.

2.25. Покажите, что отрезок $AC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$.

Для доказательства того, что отрезок $AC$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$ (обозначим эту плоскость как $\alpha = (BB_1D_1)$), воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость $\alpha$, проходящая через точки $B$, $B_1$ и $D_1$, является диагональным сечением куба $BB_1D_1D$. Это следует из того, что ребра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны, а значит, четырехугольник $BB_1D_1D$ является параллелограммом (в данном случае — прямоугольником), и все его вершины лежат в одной плоскости.

В качестве двух пересекающихся прямых в плоскости $\alpha$ выберем прямые $BD$ и $BB_1$. Эти прямые лежат в плоскости сечения $BB_1D_1D$ и пересекаются в точке $B$.

1. Докажем, что $AC \perp BD$.
Грань $ABCD$ куба является квадратом. Отрезки $AC$ и $BD$ — это диагонали этого квадрата. По свойству диагоналей квадрата, они взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

2. Докажем, что $AC \perp BB_1$.
Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$ по определению куба. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$. По определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AC$. Следовательно, $AC \perp BB_1$.

Мы показали, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $(BB_1D_1)$. Таким образом, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BB_1D_1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок $AC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$.

2.26. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ равны 3 см, 4 см соответственно, а длина перпендикуляра $CD$, опущенного на плоскость треугольника, равна 5 см. Найдите расстояние от точки $D$ до гипотенузы $AB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Сначала представим геометрическую ситуацию с помощью рисунка.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ ($ \angle C = 90^\circ $) катеты равны $ AC = 3 $ см и $ BC = 4 $ см. Отрезок $ CD $ перпендикулярен плоскости треугольника $ (ABC) $, и его длина $ CD = 5 $ см. Требуется найти расстояние от точки $ D $ до гипотенузы $ AB $. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $ D $ на прямую $ AB $.

Сначала рассмотрим треугольник $ ABC $. Так как он прямоугольный, по теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $ AB $: $ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ см.

Теперь проведем в плоскости треугольника $ ABC $ высоту $ CH $ из вершины прямого угла $ C $ к гипотенузе $ AB $. Отрезок $ CH $ является проекцией наклонной $ DH $ на плоскость $ (ABC) $. Поскольку $ CD \perp (ABC) $, а $ CH $ — проекция $ DH $, и $ CH \perp AB $ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $ DH $ также будет перпендикулярна гипотенузе $ AB $. Следовательно, длина отрезка $ DH $ и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $ CH $. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через катеты: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 $ см². С другой стороны, площадь можно выразить через гипотенузу и высоту к ней: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH $. Приравняем два выражения для площади: $ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH = 6 $ $ 5 \cdot CH = 12 $ $ CH = \frac{12}{5} = 2.4 $ см.

Рассмотрим треугольник $ DCH $. Так как отрезок $ CD $ перпендикулярен плоскости $ (ABC) $, а отрезок $ CH $ лежит в этой плоскости и исходит из основания перпендикуляра $ C $, то $ CD \perp CH $. Это означает, что $ \triangle DCH $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $ C $.

Используя теорему Пифагора для треугольника $ DCH $, найдем длину гипотенузы $ DH $: $ DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} $. Подставим известные значения: $ DH = \sqrt{5^2 + (2.4)^2} = \sqrt{25 + 5.76} = \sqrt{30.76} $ см.

Ответ: $ \sqrt{30.76} $ см.