Номер 2.18, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника $ABC$. Найдите периметр треугольника $BCD$, если:

1) $AB = 3$ см, $AD = 4$ см;

2) $AB = AD = a$.

Для нахождения периметра треугольника $BCD$ необходимо найти длины его сторон: $BC$, $BD$ и $CD$. Периметр вычисляется по формуле $P_{BCD} = BC + BD + CD$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то длина его стороны $BC$ равна длине стороны $AB$, то есть $BC = AB$.

По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $AD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $A$.

Длины сторон $BD$ и $CD$, являющихся гипотенузами в этих треугольниках, можно найти по теореме Пифагора. Из прямоугольного $\triangle ABD$ имеем: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}$. Из прямоугольного $\triangle ACD$ имеем: $CD = \sqrt{AC^2 + AD^2}$. Так как $AB = AC$ (потому что $\triangle ABC$ равносторонний), то $BD = CD$. Это означает, что треугольник $BCD$ — равнобедренный с основанием $BC$.

1) По условию $AB = 3$ см и $AD = 4$ см. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, его сторона $BC = AB = 3$ см. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $BD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Поскольку $AC = AB$, то и $CD = BD = 5$ см. Периметр треугольника $BCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{BCD} = BC + BD + CD = 3 + 5 + 5 = 13$ см.
Ответ: $13$ см.

2) По условию $AB = AD = a$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, его сторона $BC = AB = a$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $BD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Поскольку $AC = AB$, то $CD = BD = a\sqrt{2}$. Периметр треугольника $BCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{BCD} = BC + BD + CD = a + a\sqrt{2} + a\sqrt{2} = a + 2a\sqrt{2} = a(1 + 2\sqrt{2})$.
Ответ: $a(1 + 2\sqrt{2})$.