Номер 2.12, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Покажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB_1 \perp CD_1$.

Для доказательства перпендикулярности скрещивающихся прямых $AB_1$ и $CD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Геометрический

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос одной из прямых так, чтобы она пересекла другую.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $CD$ параллельно и равно ребру $BA$, а ребро $DD_1$ параллельно и равно ребру $AA_1$. Это означает, что существует параллельный перенос, переводящий грань $CDD_1C_1$ в грань $BAA_1B_1$. При этом переносе диагональ $CD_1$ переходит в диагональ $BA_1$.

Следовательно, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$ ($CD_1 \parallel BA_1$).

Теперь задача сводится к нахождению угла между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $BA_1$.

Обе эти прямые лежат в плоскости квадрата $ABB_1A_1$ и являются его диагоналями.

По свойству диагоналей квадрата, они взаимно перпендикулярны, то есть $AB_1 \perp BA_1$.

Поскольку $AB_1 \perp BA_1$ и $BA_1 \parallel CD_1$, то по определению угла между скрещивающимися прямыми, прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $CD_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 2: Векторно-координатный метод

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

$A(a, 0, 0)$

$B_1(a, a, a)$

$C(0, a, 0)$

$D_1(0, 0, a)$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $CD_1$:

$\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (a - a; a - 0; a - 0) = (0; a; a)$.

$\vec{CD_1} = (x_{D_1} - x_C; y_{D_1} - y_C; z_{D_1} - z_C) = (0 - 0; 0 - a; a - 0) = (0; -a; a)$.

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. В свою очередь, векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{CD_1}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AB_1$ и $CD_1$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.