Номер 2.13, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны между собой. Найдите углы треугольника $ABC$, если $OA = OB = 6 \text{ см}, OC = 8 \text{ см}$ (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Поскольку отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны, треугольники $AOB$, $AOC$ и $BOC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $O$. Для нахождения углов треугольника $ABC$ сначала найдем длины его сторон, которые являются гипотенузами в указанных прямоугольных треугольниках.

1. Нахождение длин сторон треугольника ABC

Воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для каждого из трех прямоугольных треугольников:

- В $\triangle AOB$ (прямоугольный, $\angle AOB = 90^\circ$):
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
$AB = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

- В $\triangle AOC$ (прямоугольный, $\angle AOC = 90^\circ$):
$AC^2 = OA^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

- В $\triangle BOC$ (прямоугольный, $\angle BOC = 90^\circ$):
$BC^2 = OB^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Нахождение углов треугольника ABC

Теперь мы знаем стороны треугольника $ABC$: $AB = 6\sqrt{2}$ см, $AC = 10$ см, $BC = 10$ см. Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle CAB = \angle CBA$.

Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$).

- Найдем угол $\angle BCA$, противолежащий стороне $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle BCA)$
$(6\sqrt{2})^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(\angle BCA)$
$72 = 200 - 200 \cos(\angle BCA)$
$200 \cos(\angle BCA) = 200 - 72 = 128$
$\cos(\angle BCA) = \frac{128}{200} = \frac{16}{25}$.
Таким образом, $\angle BCA = \arccos\left(\frac{16}{25}\right)$.

- Найдем угол $\angle CAB$. Так как $\angle CAB = \angle CBA$, найдем один из них, например, $\angle CAB$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle CAB)$
$10^2 = (6\sqrt{2})^2 + 10^2 - 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \cos(\angle CAB)$
$100 = 72 + 100 - 120\sqrt{2} \cos(\angle CAB)$
$0 = 72 - 120\sqrt{2} \cos(\angle CAB)$
$120\sqrt{2} \cos(\angle CAB) = 72$
$\cos(\angle CAB) = \frac{72}{120\sqrt{2}} = \frac{6}{10\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$.
Таким образом, $\angle CAB = \angle CBA = \arccos\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$.

Ответ: углы треугольника ABC равны $\angle CAB = \arccos\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$, $\angle CBA = \arccos\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$ и $\angle BCA = \arccos\left(\frac{16}{25}\right)$.