Номер 2.9, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.9. Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку, лежащую на этой прямой? А через точку, не лежащую на данной прямой?

Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку, лежащую на этой прямой?

Ответ на этот вопрос зависит от того, рассматриваем ли мы задачу на плоскости (в планиметрии) или в пространстве (в стереометрии).

1. На плоскости (в планиметрии)

Согласно основной теореме (или аксиоме, в зависимости от построения курса) планиметрии, через точку, лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную ей.

Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $A$, которая лежит на этой прямой ($A \in a$). Прямая $b$, проходящая через точку $A$, будет перпендикулярна прямой $a$, если она образует с ней прямой угол ($90^\circ$). Из точки $A$ на прямой $a$ можно отложить в одну полуплоскость только один угол, равный $90^\circ$. Аналогично можно сделать и для другой полуплоскости. Два луча, которые образуют эти углы с прямой $a$, являются противоположными и вместе составляют одну-единственную прямую $b$. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, будет пересекать прямую $a$ под углом, отличным от $90^\circ$.

2. В пространстве (в стереометрии)

В трехмерном пространстве через точку, лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных ей. Все эти прямые будут лежать в одной плоскости, которая перпендикулярна исходной прямой и проходит через данную точку.

Пусть в пространстве дана прямая $a$ и точка $A$ на ней. Через точку $A$ проходит единственная плоскость $\pi$, перпендикулярная прямой $a$. Любая прямая, которая лежит в этой плоскости $\pi$ и проходит через точку $A$, по определению будет перпендикулярна прямой $a$. Так как в плоскости $\pi$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых, то и в пространстве существует бесконечное множество прямых, перпендикулярных $a$ и проходящих через $A$.

Обычно, если не указано иное, подобные задачи относятся к планиметрии.

Ответ: В геометрии на плоскости (планиметрии) можно провести только одну такую прямую. В геометрии в пространстве (стереометрии) — бесконечно много.

А через точку, не лежащую на данной прямой?

В этом случае ответ одинаков как для планиметрии, так и для стереометрии. Существует фундаментальная теорема, которая гласит: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Пусть дана прямая $a$ и точка $B$, не принадлежащая ей ($B \notin a$). Прямая $b$, проходящая через $B$ и перпендикулярная $a$, существует и является единственной.

В случае стереометрии, точка $B$ и прямая $a$ однозначно задают плоскость. В этой плоскости задача сводится к планиметрической, где решение, как мы знаем, единственно. Любая другая прямая, проходящая через точку $B$, либо не будет пересекать прямую $a$ (будет скрещивающейся), либо будет пересекать ее не под прямым углом.

Ответ: Можно провести только одну такую прямую.