Номер 2.14, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Даны прямая $\text{a}$ и плоскость $\alpha$, $a \perp \alpha$, $A = a \cap \alpha$. Прямая $\text{b}$ проходит через точку $\text{A}$ и $b \perp a$. Докажите, что $b \subset \alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:

1. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$.

2. $a \perp \alpha$.

3. $A = a \cap \alpha$.

4. Прямая $b$ проходит через точку $A$.

5. $b \perp a$.

Доказать:

$b \subset \alpha$.

Доказательство:

Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$, то есть $b \not\subset \alpha$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$ (по условию $A \in a$ и $A \in b$), через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой $c$. Так как точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, она принадлежит и линии их пересечения: $A \in c$. Итак, $c = \alpha \cap \beta$.

По условию задачи, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения $A$.

Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$) и проходит через точку $A$. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$, то есть $a \perp c$.

Теперь рассмотрим ситуацию в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат прямые $a$, $b$ и $c$, и все они проходят через точку $A$.

Из условия мы знаем, что $b \perp a$.

Из нашего рассуждения мы получили, что $c \perp a$.

Так как мы предположили, что $b \not\subset \alpha$, а прямая $c$ по построению лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), то прямые $b$ и $c$ являются различными прямыми ($b \neq c$).

Таким образом, мы пришли к выводу, что в плоскости $\beta$ через точку $A$, лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые ($b$ и $c$), перпендикулярные прямой $a$. Это противоречит теореме планиметрии, согласно которой через любую точку прямой в плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $b$ должна лежать в плоскости $\alpha$.

Ответ: Доказано, что $b \subset \alpha$.